Если матрица системы является симметричной и положительно определенной, то для решения системы применяют метод Холецкого (метод квадратных корней). ПРИМЕР 1.Решение системы методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу.

Метод решения задачи называют прямым, если он позволяет получить решение после выполнения конечного числа элементарных операций. Метод решения задачи называют итерационным, если в результате получают бесконечную последовательность приближений к решению. Если эта последовательность сходится к решению задачи, то говорят, что итерационный процесс сходится.

2. Достоинства метода.

В методе Гаусса для вычисления масштабирующих множителей требуется делить на ведущие элементы каждого шага. Если элемент равен нулю или близок к нулю, то возможен неконтролируемый рост погрешности.

2.4.2. Модификация метода Гаусса для случая линейных систем с трехдиагональными матрицами — метод прогонки

Метод прогонки.Если матрица системы является разреженной, то есть содержит большое число нулевых элементов, то применяют еще одну модификацию метода Гаусса — метод прогонки. Подставим полученное выражение во второе уравнение системы и преобразуем его к виду и т.д. Для решения систем (5.66) требуется выполнение примерно арифметических операций. Безусловным достоинством метода Холецкого является также его гарантированная устойчивость.

1. Описание метода.

Иногда разложение записывается в эквивалентной форме: A=UTU{\displaystyle A=U^{T}U}, где U=LT{\displaystyle U=L^{T}} — верхняя треугольная матрица. Разложение Холецкого всегда существует и единственно для любой симметричной положительно-определённой матрицы. Такие матрицы часто возникают, например, при использовании метода наименьших квадратов и численном решении дифференциальных уравнений.

Для решения систем с трехдиагональными матрицами существует экономичный (требующий малого количества памяти и арифметических действий) вариант метода Гаусса — прогонка. В англоязычной литературе метод прогонки называется алгоритмом Томаса. В настоящей второй части пособия рассматривается решение задач из раздела «Решение систем линейных алгебраических уравнений» с помощью программ, включенных к настоящему времени в указанный Комплекс.

При вычислениях по методу квадратного корня производится обычный контроль с помощью сумм, как и в методе Гаусса

Для решения системы (1) применяются специальные блочные реализации (блочные алгоритмы) для прямого и обратного исключения Гаусса. В изложенных выше схемах метода исключения Гаусса можно сделать ряд упрощений, если матрица исходной системы (4.1) является симметрической. Кроме того, метод квадратного корня, как и изложенные выше методы, дает возможность найти . Для вычисления определителя достаточно провести прямой ход по формулам (4.41).

Поэтому часто применяют модификации метода Гаусса, обладающие лучшими вычислительными свойствами. В этом случае все масштабирующие множители по модулю меньше единицы и схема обладает вычислительной устойчивостью. Гаусса, а требуется только, чтобы диагональные элементы были положительными. Учет симметричности матрицы А позволяет экономно использовать память ЭВМ при записи исходных данных задачи и результатов вычислений.

Существует также обобщение этого разложения на случай комплекснозначных матриц. Такие матрицы называются трехдиагональными. Таким образом при вычислениях в локальной памяти каждого из процессов содержится только некоторая (называемая локальной) часть исходной глобальной матрицы (вектора).

В последней строке листинга приведена проверка правильности найденного разложения

Вопросы обработки ошибок и выдачи диагностических сообщений достаточно подробно рассматриваются в п.7 третьей части пособия. 2) при расчетах на ЭВМ позволяет экономить память машины, т.к. матрица – симметрическая.

По окончании вычислений необходимо также сделать выход из определенного ранее контекста (т.е. освободить использованные процессы решетки). Распределение блоков исходных глобальных матриц (векторов) по параллельным процессам значительно упрощается посредством использования соответствующих служебных подпрограмм (см. п.6.3).

ВНИМАНИЕ! Приобретаемая Вами готовая работа НЕ является программным продуктом и не является каким-либо товаром

Да, после оплаты Вы получите все файлы проекта данной работы, при желании сможете редактировать (видоизменять) программу (ее описание) самостоятельно. Для этого заполните пожалуйста форму, приведенную ниже. В форме укажите требуемое оглавление(план) отчета.

Каждый из этапов осуществляется посредством обращения к специальным базовым подпрограммам комплекса. Стоимость ИСХОДНОГО ТЕКСТА программы составляет 700 рубПродажа каждой работы строго учитывается,у каждой работы есть своя история продаж. Работа продается КАК ЕСТЬ, поэтому обмену либо возврату НЕ подлежит. Да, мы можем гарантировать уникальность данной работы. Готового нет, но Вы можете заказать его дополнительно. Если в Вашем ВУЗе никаких особых требований к отчету не выдвигают, тогда выберите пункт «требований к отчету нет, всё на усмотрение программиста».

Повторим здесь лишь вкратце основные действия, требующиеся от пользователя программ Комплекса PARALG. Под векторами понимаются векторы — столбцы. Обычно работы по программированию всегда показывают больше 50% уникального текста. Если вы набираете листинг «от руки», их можно заменить универсальной встроенной функцией isolve.

Вычислительная математика — это наука о методах решения вычислительных задач на компьютере. К прямым методам решения относятся метод Гаусса и его модификации, метод Холецкого и метод прогонки.