Задача 2. В ящике находятся 10 деталей, из которых 4 — бракованных. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей: а) нет годных; б) нет бракованных; в) одна бракованная две годных. Какова вероятность того, что студент ответит на все вопросы из доставшегося ему билета.

Найти вероятность того, что среди 3 наугад взятых есть хотя бы одно нестандартное. Будем искать вероятность события $\overline{A}$. События, которые обладают всеми тремя свойствами: образуют полную группу, несовместны и равновозможны называют элементарными исходами (элементарными событиями) или случаями. Это означает, что эти события не имеют общих элементарных исходов, т.е. множества А и В не пересекаются. Т1(о сложении вероятностей несовместных событий).

Случайной называют величину, которая в результате испытания принимает одно из возможных своих значений, наперед неизвестное.

Найти вероятность того, что будет выбрано ровно $k$ стандартных и $n-k$ бракованных деталей. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными?

Начинаем решение задачи с ввода события $A = $ (Из взятых наугад 4 изделий 2 изделия являются дефектными) и общей формулы для нахождения вероятности. Сначала найдем общее число исходов — это число способов выбрать любые 4 изделия из партии в 12 изделий. Теперь переходим к числу благоприятствующих событию исходов. Выпишем значения параметров: $K=8$ стандартных изделия, $N-K=12-8=4$ нестандартных изделия, всего $N=12$ изделий в партии.

Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью r (независимо от других) оказывается дефектным. При осмотре дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью p. Для контроля из продукции завода выбирается n изделий.

Каждая электролампочка в течение года перегорает с вероятностью r. Найти вероятность того, что в течение года не менее половины первоначально включенных лампочек придётся заменить новыми. Каждая торпеда попадает в корабль с вероятностью p. Каждая попавшая в корабль торпеда с одинаковой вероятностью попадает в любой из k отсеков, на которые разделена подводная часть корабля.

Таким образом, вероятность того, что электролампа проработает от 550 ч до 700 ч равна

4. Случайные события как подмножества множества простейших исходов. Размещением называется любой набор, содержащий m элементов этого множества, взятый в определенном линейном порядке. Событие- всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Несколько событий называют несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе. Несколько событий называют равновозможными в данном опыте, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое.

Вероятность события — численная мера объективной возможности этого события. Тогда любая фигура A, составленная из таких подмножеств, будет изображать некоторое событие, а ее площадь можно считать вероятностью этого события. Разумеется, вероятность всего пространства элементарныхсобытий совпадает с площадью квадрата и равна единице. Если события А и Внесовместны, то происхождение одного исключает происхождение другого. СобытиеС называют противоположным событию А, если события А и С несовместны и их суммой будет все пространство элементарных событий.

Решение. Пространство элементарных исходов состоит из следующих элементарных событий. Какова вероятность того, что в комитете окажутся: один бухгалтер, пять менеджеров и четверо научных сотрудников?

Есть ли среди этих событий равновозможные? Указать, какие из этих событий несовместны, какие совместны, какие образуют полную группу? На каждый из пяти обслуживаемых через день заводов требуется послать одного из водителей.

Какова вероятность того, что нынешний маршрут не повторит предыдущий? Какова вероятность того, что маршрут не повторится ни разу в течение месяца? 4. Слово «институт» разрезали на буквы. Эти буквы перемешали и наудачу выложили в ряд. Какова вероятность снова получить слово «институт»? В качестве проверки преподаватель предлагает учащимся проверить 10 накладных, 4 из которых содержат ошибки. Он берет наугад из этих 10 две накладные и просит проверить.

2. Условная вероятность. Условной вероятностьюP(A/B) называется вероятность события A при условии, что B уже произошло. Несколько испытаний называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из испытаний не зависит от того, какие исходы имели другие испытания. Задача 1. При проверке документа можно обнаружить четыре нарушения в его оформлении.

Сборщик наудачу извлекает деталь, записывает цвет и возвращает деталь в ящик. Найти вероятность того, что три извлеченные детали окажутся окрашенными. В новых условиях — зависимы, поскольку вероятность вынуть следующую окрашенную деталь зависит от того, была ли уже извлечена одна окрашенная. Задача 6. В первой партии из 60 изделий содержится 8 дефектных, во второй партии из 40 деталей содержится 4 дефектных. Из первой партии взяли 10 деталей, извторой 6, перемешали и взяли одно изделие.

Среднее квадратическое отклонение

С вероятностью 0,15 он неправильно перепишет условие задачи. Какова вероятность того, что студент выбрал неправильный способ решения? Решение. Пусть — гипотеза, состоящая в том, что студент неправильно перепишет условие задачи. 1. Три исследователя, независимо один от другого, производят измерения некоторой физической величины. Какова вероятность того,что проверка закончится на 5 документе. 5. Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали.

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. 1. Сумма и произведение событий. Из партии извлекают $n=3$ изделия, и все они должны оказаться стандартными, то есть $k=3$ и $n-k=0$.