Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием.

Дифференциа́льное уравне́ние — уравнение, связывающее значение производнойфункции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Если дифференциальное уравнение является многочленом относительно старшей производной, то степень этого многочлена называется степенью дифференциального уравнения.

К дифференциальным уравнениям приводили также некоторые рассмотренные в то время геометрические задачи

Для обыкновенных дифференциальных уравнений такие условия были сформулированы Липшицем (1864). После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными. Развитие теории дифференциальных уравнений позволило в ряде случаев отказаться от требования непрерывности исследуемых функций и ввести обобщённые решения дифференциальных уравнений.

Основой теории дифференциальных уравнений стало дифференциальное исчисление, созданное Лейбницем и Ньютоном(1642—1727). Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707—1783) и Лагранжа (1736—1813). Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь её чаще называют, теория динамических систем, сейчас активно развивается и имеет важные применения в естествознании.

Дифференциальные уравнения кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении и многим студентам

Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестная функция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). Для таких уравнений решения образуют аффинное подпространство пространства функций. Теория линейных ДУ развита значительно глубже, чем теория нелинейных уравнений.

Важным частным классом линейных уравнений являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. В некоторых случаях (с применением тех или иных приближений) они могут быть сведены к линейным.

Начиная с 1743 года к работам Эйлера присоединился Даламбер, открывший общее решение волнового уравнения для колебаний струны. В последующие годы Эйлер и Даламбер опубликовали ряд методов и приёмов для исследования и решения некоторых уравнений в частных производных. Есть линейные и нелинейные уравнения. Линейное уравнение представимо в виде линейной комбинации производных от неизвестных функций.

Дифференциальные уравнения (ДУ). Эти два слова обычно приводят в ужас среднестатистического обывателя

Линейные уравнения хорошо исследованы, за решение отдельных видов нелинейных уравнений назначены миллионные премии (задачи тысячелетия). D=B2−AC=0{\displaystyle D=B^{2}-AC\,=0} — Параболическое уравнение (здесь предполагается, что в данной точке коэффициенты A, B, C не обращаются в нуль одновременно).

Поскольку нахождение аналитического решения даже простого уравнения в сложной области не всегда возможно, то было разработано множество методов решения уравнений математической физики. Важно, чтобы в уравнении присутствовал персонаж , который, как я только что показал, иногда может маскироваться под корень. Обратите внимание, что одним из очевидных решений уравнения Бернулли (если ) является решение: . Действительно, если найти и подставить в уравнения рассмотренных типов, то получится верное равенство.

https://youtu.be/y7ThLmCsqIA

Когда для решения предложено уравнение Бернулли, почему-то очень часто требуется найти частное решение. По своей коллекции я провёл случайную выборку из 10 уравнений Бернулли, и общее решение (без частного решения) нужно найти всего в двух уравнениях. Но, собственно, это мелочь, поскольку общее решение придётся искать в любом случае.

Тривиальное решение потерялось (это произошло в самом начале при делении на ) и не вошло в общий интеграл. Проверить дифференциальное уравнение Бернулли действительно не всем под силу, так как в большинстве случаев приходится находить трудную производную и выполнять громоздкую подстановку. Уравнение имеет два корня и в результате получаются… два частных решения, каждое из которых удовлетворяет начальному условию . Желающие могут выполнить проверку для обеих функций.

Важнейшим вопросом для дифференциальных уравнений является существование и единственность их решения. 9y=0{\displaystyle y»+9y=0} — однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Чем качественнее изучены темы Производная функции одной переменной и Неопределенный интеграл, тем будет легче разобраться в дифференциальных уравнениях.