Плотность распределения вероятности и ее свойства. Случайную величину X называют непрерывной, если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную. Законом распределения случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Если случайная величина A может принимать любые значения в интервале (a; b), то такая случайная величина называется непрерывной.

В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только для непрерывных случайных величин. Рассмотрим непрерывную случайную величину с плотностью распределения и элементарный участок , примыкающий к точке (рис. 5.4.2). Вероятность попадания случайной величины на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна . Величина называется элементом вероятности.

Выразим вероятность попадания величины на отрезок от до (рис 5.4.3) через плотность распределения. Геометрически вероятность попадания величины на участок равна площади кривой распределения, опирающейся на этот участок (рис. 5.4.3.). Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределенияf(x), либо функция распределения F(x) (см. пример).

Поэтому мы будем рассматривать в основном преобразования случайных величин с абсолютно непрерывными распределениями. В общем случае мы не можем просто продифференцировать функцию распределения, поскольку не знаем, существует ли плотность. Следует доказать, что распределение абсолютно непрерывно. Но доказывая это, мы попутно найдём и плотность распределения. Действительно, у нас есть следующий путь доказательства абсолютной непрерывности распределения.

Теорема 24. Пусть имеет плотность распределения , и функция монотонна. В отличие от случайного события, являющегося качественной характеристикой случайного результата испытания, случайная величина характеризует результат испытания количественно. Дискретной называется случайная величина, принимающая конечное или бесконечное счетное множество значений. Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Про случайную величину говорят, что она подчиняется данному закону распределения. В противном случае случайные величины называются зависимыми. Табличное задание закона распределения можно использовать только для дискретной случайной величины с конечным числом возможных значений.

Числовые характеристики случайных величин

Для наглядности ряд распределения представляют графически. При графическом изображении в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают все возможные значения случайной величины, а по оси ординат — соответствующие вероятности. Это свойство следует из того, что все возможные значения случайной величины X образуют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей которых равна единице.

Ее еще называют интегральной функцией распределения. Геометрическая интерпретация функции распределения очень проста. Сумма всех скачков функции распределения равна единице. Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения.

Функция φ (x, y), которая входит в это равенство, называется плотностью вероятности

Математическое ожидание иногда называют средним значением случайной величины. С помощью дисперсии и среднеквадратического отклонения можно судить о рассеивании случайной величины вокруг математического ожидания. Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины и поэтому ее нельзя интерпретировать геометрически. Любая количественная характеристика, которая в результате случайного эксперимента может принять одно из некоторого множества значений, — случайная величина.

Так же, как и для дискретных процессов, для непрерывной случайной величины существуют несколько характерных распределений вероятностей. Плотность распределения величины заведомо существует, если, например, функция (строго) монотонна.