Найдем производную неявной функции вторым способом. Если независимая переменная и функция связаны уравнением вида , которое не разрешено относительно , то функция называется неявной функцией переменной. У неявной функции точно так же существует первая производная, вторая производная и т.д.

В курсе математического анализа доказано, что неявная функция существует (однако не всегда), у неё есть график (точно так же, как и у «нормальной» функции). Все правила дифференцирования, таблица производных элементарных функций остаются в силе. Разница в одном своеобразном моменте, который мы рассмотрим прямо сейчас.

Как дифференцировать Здесь у нас сложная функция. Но, дело в том, что всего одна буква «игрек» – САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ (см. определение в начале урока). Производная найдена. Интересно отметить, что в неявном виде можно переписать любую функцию. Например, функцию можно переписать так: . И дифференцировать её по только что рассмотренному алгоритму. На самом деле фразы «функция, заданная в неявном виде» и «неявная функция» отличаются одним смысловым нюансом.

Можно записать общую формулу параметрически заданной функции, но, для того, чтобы было понятно, я сразу запишу конкретный пример. Кстати, если есть надобность построить график параметрически заданной функции, закачайте мою геометрическую прогу на странице Математические формулы и таблицы. Особенностью нахождения производной параметрической функции является тот факт, что на каждом шаге результат выгодно максимально упрощать.

Всякую явно заданную функцию можно записать в неявном виде . Обратно сделать не всегда возможно

Это пример для самостоятельного решения. В статье Простейшие типовые задачи с производной мы рассматривали примеры, в которых требовалось найти вторую производную функции. Я заметил, что в задаче на нахождение производной параметрической функции довольно часто в целях упрощений приходится использовать тригонометрические формулы. Решение. Продифференцируем левую и правую часть заданного равенства, при этом помним, что является функцией переменной , поэтому производную от нее будем брать как производную от сложной функции.

Не колышет потому, что при решении простых задач (для студентов) и при изображении графика функции в полярных координатах это не мешает, в отличие от той проблемы, которую я осветил

Да, и возвращаясь к исходной теме, скажем, что когда пишут уравнение кривой в полярной системе координат и просят построить, — то всегда имеют ввиду построить кривую, а не график функции.

Для того чтобы успешно освоить материал, необходимо уметь находить производные хотя бы на среднем уровне. Здесь переменные и расположены «вперемешку». Как дифференцировать и совершенно понятно. Таким образом, синус – внешняя функция, – внутренняя функция. Внимание! Со вторым способом можно ознакомиться только в том случае, если Вы умеете уверенно находить частные производные.

Рассмотрим еще два примера. Не напрягаемся, в этом параграфе тоже всё достаточно просто. Переменная называется параметром и может принимать значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Рассмотрим, например, значение и подставим его в оба уравнения: . Или по человечески: «если икс равен четырем, то игрек равно единице».

Так, в рассмотренном примере при нахождении я раскрыл скобки под корнем (хотя мог этого и не делать). Велик шанс, что при подстановке и в формулу многие вещи хорошо сократятся. Хотя встречаются, конечно, примеры и с корявыми ответами. Четыре опорные точки P0, P1, P2 и P3, заданные в 2- или 3-мерном пространстве, определяют форму кривой. Дело в том, что почти в каждом учебнике для вузов и втузов, а также в задачниках сразу оговаривается, что полярный радиус — величина положительная.

Munin, хорошо, когда будем вести речь о таких кривых с самопересечением, не будем использовать «график функции» будем использовать «кривая» и «уравнение кривой»

Математики не нуждались в этом (десятки лет) до Вашего появления, не нуждаются и не будут нуждаться. Вам, Shtorm, ближе к лету всё время неймётся, Вам надо выискивать «недостатки» в определениях и бороться за их чистоту. В одних книгах Архимедову спираль рисуют при , в других напоминают о существовании «второй ветви», . И никто не парится по пустякам.

Разрешите познакомить: – пример неявной функции. Надеюсь, это занятие было полезным, и Вы теперь с лёгкость сможете находить производные от функций, заданных неявно и от параметрических функций.