Определение рекурсивных функций

Любая примитивно рекурсивная функция является общерекурсивной. Пусть f{\displaystyle f} — функция от n натуральных переменных. Заметим, что если исходные функции в операторах суперпозиции и примитивной рекурсии всюду определены, то и результирующие функции также всюду определены. Множество примитивно рекурсивных функций — это минимальное множество, содержащее все базовые функции и замкнутое относительно указанных операторов подстановки и примитивной рекурсии.

Программа вычисляющая частично рекурсивную функцию легко пишется на любом удобном для читателя языке программирования. Функции , , , и как представляется состояние машины Тюринга описано в доказательстве теоремы о примитивной рекурсивности вычислимых функций. Функция возвращает минимальное число шагов за которое программа вычисляющая нашу функцию попадет в состояние . Покажем что она частично рекурсивная.

Из этой теоремы и неразрешимости языка программ завершающихся при любом входе, следует алгоритмическая неразрешимость проврк,и частично рекурсивной функции на общерекурсивность.

Определение рекурсивных функций

Каждой примитивно рекурсивной функцией соответствует ее описание, не обязательно единственное. Оно состоит из последовательных определений функций через предыдущие заканчивая нашей функцией. Множество описаний одноместных примитивно рекурсивных функций разрешимо, значит все описания можно занумеровать(описания могут содержать и местные функции в качестве промежуточных).

Оператор примитивной рекурсии. Оператор минимизации аргумента. В этом разделе мы изучим алгебраический подход к определению класса вычислимых функций. Каждая вычислимая функция будет получаться из некоторых простейших очевидно вычислимых базисных функций с помощью некоторых операций, вычислимость которых также не вызывает сомнения.

Вычислимость по Тьюрингу примитивно рекурсивных функций

Мы будем рассматривать частичные арифметические функцииfn(x1, …, xn): Nn -> N. Здесь верхний индекс n у имени функции f обозначает число ее аргументов («арность»). Определим вначале три оператора, позволяющих по одним функциям получать другие. Скажем, что функция Fn+1(x1,…

Основные понятия теории рекурсивных функций и тезис Чёрча

Следующий оператор позволяет задавать не всюду определенные, т.е. частичные, функции. Следующее определение вводит интересующий нас класс частично рекурсивных функций и его важные подклассы. Нетрудно проверить, что каждая примитивно рекурсивная функция всюду определена, т.е. является общерекурсивной (обратное, вообще говоря, неверно). Приведем некоторые примеры частично рекурсивных функций.

Функции , где , от n переменных, сопоставляющие любому упорядоченному набору натуральных чисел число xm из этого набора. Частично рекурсивные функции определяются аналогичным образом, только к двум операторам подстановки и примитивной рекурсии добавляется ещё оператор минимизации аргумента. Собственно, оттого, что частично рекурсивные функции могут иметь корректно определённое значение лишь на части аргументов, и пошло их название.

Общерекурсивные функции

Одним из популярных примеров является функция Аккермана. Наречие «частично» относится не к прилагательному «рекурсивные», а к области определения функции. Возможно, более правильным названием было бы «частично определённые рекурсивные функции» и просто «везде определённые рекурсивные функции». Рекурсивная функция (теория вычислимости) — У этого термина существуют и другие значения, см. Рекурсивная функция (значения). РЕКУРСИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ — раздел тео рии рекурсивных функций, в к ром рассматриваются и классифицируются подмножества натуральных чисел с алгоритмич.

Частичная рекурсивность функций, вычислимых по Тьюрингу

Понятие О. ф. может быть определено и независимо от понятия частично рекурсивной функции следующим образом. В настоящем и следующем параграфах будут рассмотрены еще два способа такого уточнения: рекурсивные функции и нормальные алгоритмы Маркова. Это означает, что с каждым алгоритмом однозначно связана функция, которую он вычисляет. В предыдущем параграфе были рассмотрены примеры функций, которые вычисляются с помощью алгоритма, названного машиной Тьюринга.

Для всякой ли функции можно указать вычисляющую ее машину Тьюринга? Если нет, то для каких функций существует вычисляющий их алгоритм (машина Тьюринга), как описать такие, как говорят, алгоритмически или эффективно вычислимые функции? Исследование этих вопросов привело к созданию в 1930-х гг. теории рекурсивных функций.

Сначала были выбраны простейшие функции, эффективная вычисляемость которых была очевидна (своего рода «аксиомы»). Затем сформулированы некоторые правила (названные операторами), на основе которых можно строить новые функции из уже имеющихся (своего рода «правила вывода»). Приступим к построению класса рекурсивных функций в соответствии с изложенными принципами. Напомним, что рассматриваются функции, заданные на множестве натуральных чисел и принимающие натуральные значения.

Подстановки указанного вида достаточно специфичны (все функции g имеют одно и то же число аргументов) и не исчерпывают всевозможных подстановок, которые можно производить над функциями. Но благодаря функциям-проекторам I_m^n этот недостаток легко устраняется: любая суперпозиция функций в функции может быть выражена через суперпозиции указанного вида и функции-проекторы. Этот оператор предназначен для порождения следующего важного класса рекурсивных функций.

Понятие частично рекурсивной функции оказалось исчерпывающей формализацией понятия вычислимой функции. Рекурсивными функциями мы стремимся исчерпать все мыслимые функции, поддающиеся вычислению с помощью какой-нибудь определенной процедуры механического характера. Числовая функция тогда и только тогда алгоритмически (или машинно) вычислима, когда она частично рекурсивна.

Все рассматривавшиеся в математике конкретные функции, признаваемые вычислимыми в интуитивном смысле, оказывались частично рекурсивными. Рассмотрим ряд примеров примитивно рекурсивных функций. Чтобы получить рассматриваемую функцию, нужно добавить еще одну суперпозицию. Определив ранее понятие предиката, мы отметили, что к этому понятию возможен и еще один подход.

Довольно сложно доказать существование и привести пример общерекурсивной функции, не являющейся примитивно рекурсивной. Задача определения того, является ли частично рекурсивная функция с данным описанием общерекурсивной или нет, алгоритмически неразрешима.

Что еще посмотреть:

  • Две сестры и два брата матери пробанда здоровыДве сестры и два брата матери пробанда здоровыДве сестры и два брата матери пробанда здоровы. Отец пробанда болен, а мать здорова. Бабка пробанда по линии матери имеет нормальное зрение и состоит в браке с нормальным по зрению […]
  • Как увидеть все узлы объекта?Как увидеть все узлы объекта?Для того, чтобы включить показ линеек прокрутки по умолчанию надо зайти в меню «Настройки»→ «Режимы» → «Окно Карты» и включить опцию «Линейки прокрутки». Для того, чтобы узнать количество […]
  • Фториды показатель преломления — Справочник химика 21Фториды показатель преломления — Справочник химика 211) Анализ существующих гониометрических методов измерения показателя преломления и средств измерений, применяемых в рефрактометрии. 7) Разработка оптической схемы комплекса для реализации […]