Итак, две независимые случайные величины являются и некоррелированными. Укажем необходимые и достаточные условия независимости случайных величин. Выясним, эквивалентно ли понятие некоррелированности случайных величин понятию независимости. Модадискретной случайной величины – это ее наиболее вероятное значение. Определение многомерной случайной величины и закон ее распределения.

Из формулы (8.6.7) видно, что корреляционный момент характеризует не только зависимость величин, но и их рассеивание. Случайные величины, для которых корреляционный момент (а значит, и коэффициент корреляции) равен нулю, называются некоррелированными (иногда – «несвязанными»).

Закон распределения вероятностей системы случайных величин

Оказывается — нет. Можно построить примеры таких случайных величин, которые являются некоррелированными, но зависимыми. Рассмотрим систему случайных величин , распределенную с равномерной плотностью внутри круга радиуса с центром в начале координат (рис.8.6.1). Нетрудно убедиться, что в данном примере величины являются зависимыми.

Коррелированность и зависимость случайных величин

Линейная вероятностная зависимость случайных величин заключается в том, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию возрастать (или же убывать) по линейному закону. В случае говорят о положительной корреляции величин и , в случае — об отрицательной корреляции.

Условные законы распределения

Наоборот, время, потраченное на подготовку, и количество неисправностей, обнаруженное при работе прибора, связаны отрицательной корреляцией. Координаты точек попадания первого и второго выстрелов будут связаны отрицательной корреляцией.

Однако очень часто такая исчерпывающая характеристика не может быть применена. Иногда ограниченность экспериментального материала не дает возможности построить закон распределения системы.

Функция распределения

Наконец, в ряде задач примерный тип закона распределения (нормальный закон) известен заранее и требуется только найти его характеристики. Во всех таких случаях вместо законов распределения применяют неполное, приближенное описание системы случайных величин с помощью минимального количества числовых характеристик.

Совокупность математических ожиданий представляет собой характеристику положения системы. На практике широко используются вторые центральные моменты системы. Понятия математического ожидания и дисперсии являются частными случаями более общего понятия для числовых характеристик случайных величин – моментов распределения. Если распределение симметрично относительно точки х = m, то центральный момент третьего порядка будет равен нулю (как и все центральные моменты нечетных порядков).

Функция f(x,y) называется плотностью распределения системы непрерывных случайных величин (X,Y)

Если кривая распределения имеет более одного максимума, то распределение называется полимодальным. В частном случае, для модального, т.е. имеющего моду, симметричного распределения и при условии, что существует математическое ожидание, последнее совпадает с модой и центром симметрии распределения. Условные законы распределения и их числовые характеристики. При изучении случайных явлений в зависимости от их сложности иногда приходится использовать две, три и более случайных величин.

При различных измерениях очень часто имеем дело с двумя или тремя случайными величинами. Условимся систему нескольких случайных величин X,Y,\ldots,W обозначать (X,Y,\ldots,W).

При рассмотрении системы случайных величин удобно пользоваться геометрической интерпретацией системы. По аналогии систему n случайных величин можно рассматривать как случайную точку в n-мерном пространстве или как n-мерный случайный вектор. Такая таблица называется таблицей распределения системы двух дискретных случайных величин с конечным числом возможных значений.

Определить функцию распределения F(x,y) и вероятность попадания случайной точки в прямоугольник с вершинами O(0;0),\,A(0;1),\,B(\sqrt{3};0) и C(\sqrt{3};0). Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Из этого определения следует, что условные распределения независимых величин равны их безусловным распределениям.

Две коррелированные величины также и зависимы. Обратное утверждение не всегда имеет место, т. е. если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. На практике очень часто приходится рассматривать системы более чем двух случайных величин. Нормированной корреляционной называется такая матрица, элементами которой являются коэффициенты корреляции.

Между случайными величинами может существовать функциональная зависимость

Понятие дисперсии обобщается на многомерные случайные величины нетривиальным образом. Здесь лишь приведем формулы для вычисления дисперсии компонент двумерного случайного вектора. В то же время между случайными величинами может существовать зависимость другого рода, называемая стохастической. В разделе, посвященном условным распределениям уже обсуждалась такая зависимость.

Из равенства нулю ковариации не следует независимость случайных величин. Случайные величины могут быть зависимыми в то время как их ковариация нулевая! Но зато, если ковариация случайных величин отлична от нуля, то между ними существует стохастическая связь, мерой которой и является величина ковариации.

Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами. Таким образом, мы видим, что из некоррелированности случайных величин не всегда следует их независимость. В общем случае мода и математическое ожидание случайной величины не совпадают. Так как размерность среднего квадратичного отклонения та же, что и у случайной величины, оно чаще, чем дисперсия, используется как мера рассеяния.