В математике — функции Бесселя и дифференциальное уравнение. Функции Бесселя с целым положительным и произвольным значком. Общее представление цилиндрических функций.

Здесь Γ(z){\displaystyle \Gamma (z)} — гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально 1x{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x}}}}, хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.

Соответствие функций на английском и русском языке в Excel

Функции Бесселя второго и третьего рода. Цилиндрические функции с индексом, равным половине нечетного целого числа. Нули цилиндрических функций. Бесселевы функции первого рода и их практическое применение. Функции Бесселя полуцелого порядка. Формулы приведения для бесселевых функций. Ряды Фурье-Бесселя. Асимптотическое представление бесселевых функций для больших значений аргумента.

Рекуррентные формулы для данных функций. Некоторые применения функций Бесселя. Дифференциальное уравнение второго порядка. Изложение теории бесселевых функций, их приложения к уравнениям математической физики. Виды цилиндрических функций. Изучение вклада ученого в культуру и науку Восточной Пруссии. Начало научной деятельности Бесселя. Альбертина к моменту приглашения Бесселя. Бессель-астроном.

Ортогональность функций Бесселя и их корни. Направления применения теории данных функций к анализу скин-эффекта. Ортогональные системы функций. Случай непериодической функции, произвольного промежутка, четных и нечетных функций. Непрерывность функции: определение, практические примеры, график, приращение. Точка разрыва первого и второго рода функции, примеры. Бесконечность односторонних пределов функции. Понятие и основные свойства обратной функции.

Область определения функции. Обратимость монотонной функции. Построение графиков функций и определение их свойств. Специальные классы цилиндрических функций известны в литературе под названием функций Бесселя, и иногда это наименование присваивается всему классу цилиндрических функций. Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов. Цилиндрические функции Бесселя являются самыми распространенными из всех специальных функций.

В ряде задач математической физики встречаются цилиндрические функции, в которых аргумент или индекс (иногда и тот и другой) принимают комплексные значения. Для численного решения таких задач необходимо разработать алгоритмы, позволяющие вычислять функции Бесселя с высокой точностью. Цель курсовой работы: изучение функций Бесселя и применение их свойств в решении дифференциальных уравнений. 2) Рассмотреть основные свойства функций Бесселя, асимптотические представления.

Исследование данного класса носит более элементарный характер, чем теория, относящаяся к произвольным значениям , и может служить хорошим введением в эту общую теорию. Таким образом, функция удовлетворяет уравнению (1.1), т. е. представляет собой цилиндрическую функцию. Первое из соотношений дает возможность выразить функцию произвольного порядка через функции порядков нуль и единица, что существенным образом сокращает работу по составлению таблиц функций Бесселя.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Легко видеть, что данный ряд сходится при любых и , причем в области , ( — произвольно большие фиксированные числа) сходимость равномерна по отношению к каждому из переменных. Так как члены ряда представляют собой регулярные функции в плоскости с разрезом сумма ряда определяет некоторую функцию комплексного переменного , регулярную в рассматриваемой разрезанной плоскости.

2. Доказательство формул (2.5 — 2.6) повторяет рассуждения этого параграфа и поэтому не приводится. При помощи замены переменных в уравнении (3.1) легко получить ряд других дифференциальных уравнений, общий интеграл которых может быть выражен через цилиндрические функции. На основании полученных соотношений функции и называются функциями Бесселя мнимого аргумента.

Уравнение (6.7) часто встречается в математической физике. Справедливость последних соотношений при целом следует из непрерывности рассматриваемых функций по отношению к значку. Из (8.5) и (8.7 — 8.12) следует, что расходящиеся ряды, получающиеся, если формально положить , являются асимптотическими для функций, стоящих в левых частях рассматриваемых равенств.

При решении многих прикладных вопросов необходимо иметь представление о распределении нулей цилиндрических функций на плоскости комплексного переменного и уметь приближенно вычислять их значения. Распределение нулей функции может быть выведено из теоремы 5 с помощью соотношений пункта 6. В частности, отметим важный результат, что при все нули функции чисто мнимые.

При изложении дифференциального и интегрального исчисления мы считали, что как независимая переменная, так и функция принимают лишь вещественные значения. Далее, при изложении основ высшей алгебры мы рассматривали наиболее элементарную функцию, а именно — полином, и в том случае, когда независимая переменная принимает комплексные значения. Целью настоящей главы является распространение основ анализа на случай функции от комплексного переменного.

Вся настоящая глава и будет посвящена изложению основ теории функций комплексного переменного, имеющих производную. Отнеся плоскость к прямолинейным прямоугольным осям , мы можем каждой точке этой плоскости сопоставить или две вещественные координаты или одну комплексную координату что и будем делать дальше.

Как нетрудно показать, на чем мы останавливаться не будем, для комплексного переменного имеют место обычные теоремы о пределе суммы, произведения и частного. При изложении дальнейшей теории мы будем заниматься сначала однозначными функциями, а затем специально рассмотрим вопрос и о многозначных функциях.

Полученные формулы известны под названием рекуррентных соотношений для функций Бесселя. Покажем, что функции Бесселя других порядков могут быть выражены через эти две функции. Бесселевы функции с любым индексом. Применение бесселевых функций в математической физике на примере некоторых задач. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах.