Любое целое число может быть представлено в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1. (5=5/1; −765=−765/1). Сколько килограмм при этом попадет в один мешок, если будем распределять поровну?

Натуральные числа — это те числа, с которых когда-то всё началось. И сегодня это первые числа, с которыми встречается в своей жизни человек, когда в детстве учится считать на пальцах или счетных палочках.

Научившись считать, следующее, что мы делаем — это учимся производить над числами арифметические действия. На этапе возникновения отрицательных чисел (а они появились позже дробных) существовали и их противники, считавшие их бессмыслицей. Если верну одну, долг изменится −2+1=−1, но тоже может быть представлен отрицательным числом.

Результаты операции сложения определенного числа самого с собой определенное количество раз для всех пар чисел от 2 до 9 выписываются и составляют таблицу умножения. 123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, …) Затем по возможности сократить дробь и/или выделить целую часть (эти действия с обыкновенными дробями будут подробно рассмотрены в следующих статьях).

Рациональные числа

В ГИА в 9 классе есть задание на определение того, является ли число, содержащее в своей записи корень, рациональным или иррациональным. Задача заключается в том, чтобы попытаться преобразовать это число к виду, не содержащему корень (используя свойства корней).

Другим примером иррационального числа является число π, знакомое всем из геометрии и тригонометрии. В действительных числах, в отличии от рациональных, мы можем выразить расстояние между любыми двумя точками на прямой или на плоскости. Египтяне писали справа налево, но младшие разряды числа записывались первыми, так что в конечном счёте порядок цифр соответствовал современному. Далее шли Д, ДЕ, … ДДДДДЕЕЕЕЕЕЕЕЕ (59). Таким образом, число изображалось в позиционной шестидесятеричной системе, а его шестидесятиричные цифры — в аддитивной десятичной.

Например, запись числа 1946, используя вместо иероглифов римские цифры, можно условно представить как 1М9С4Х6. Однако на практике расчёты выполнялись на счётной доске суаньпань, где запись чисел была иной — позиционной, как в Индии, и, в отличие от вавилонян, десятичной.

Натуральные числа

Числа, большие 1000, записывали позиционно, помечая дополнительные разряды специальным штрихом (внизу слева). Специальные пометки позволяли изображать и числа, большие 10 000. Специальный символ (перевёрнутая буква ψ{\displaystyle \psi }) означал вычитание следующего за ним числа. Буква ι{\displaystyle \iota } (иота, от греч.ἴσος ‘равный’) играла роль знака равенства.

Исключение было сделано для букв Ч и Ц, перенявших числовые значения архаичных греческих букв «коппа» и «сампи». Числа записывались как в римско-греческой системе — аддитивно: например, МГ обозначало 40+3. Для больших чисел (начиная с 1000) использовались особые пометки. Английский математик Уильям Джонс впервые использовал обозначение числа π{\displaystyle \pi } (1706 год). Общепринятым это обозначение сделал Эйлер в XVIII веке.

Определение: натуральными называют числа, которые используют для счета предметов (1, 2, 3, 4, 5, … ) [Число 0 не является натуральным. 3 − 5 = −2 — у меня было 3 монеты, я потратила 5. Значит, у меня не просто закончились монеты, но и 2 монеты я кому-то должна. Идея сложения целых чисел уже предполагает возможность умножения, как просто более быстрого способа выполнения сложения.

Представим себе, что мы высыпали всё содержимое всех мешков в одну общую кучу массой 42 килограмма. Тут мы подумаем о том, что те же общие 42 килограмма могли бы получиться, если бы мы высыпали в кучу 6 мешков по 7 килограмм. Для более сложных случаев используется деление в столбик, которое будет рассмотрено в одной из следующих статей. В случае 3 и 42 можно «подбором» вспомнить, что 3 ·14 = 42. Значит, 42:3=14.

Действительные числа

При этом понятно, что в реальности разделить любое количество (крупы, например,) на 5 равных частей нам ничего не мешает. Операциям с десятичными дробями – другие статьи. Если от корня не удается избавиться, то число иррациональное. Первоначально (например, в «Началах» Евклида) математические утверждения формулировались словесно.

Следует заботиться о том, чтобы обозначения были удобны для открытий. Это достигается в наибольшей мере тогда, когда знаки коротко выражают и как бы отображают глубочайшую природу вещи; при этом удивительным образом сокращается работа мышления. Оно должно ясно и однозначно отражать то понятие или операцию, для которой предназначено. Эти высказывания поясняют, в каком направлении исторически развивалась система математических обозначений.

В иератическом письме уже есть отдельные обозначения для каждой цифры от 1 до 9 и сокращённые знаки для разных десятков, сотен и тысяч. Общего понятия дроби mn{\displaystyle {\frac {m}{n}}} у них не было, и все неканонические дроби представлялись как сумма аликвотных дробей.

Если направление «ног» у этого иероглифа совпадало с направлением письма, тогда он означал «сложение», в других случаях он означал «вычитание». Для умножения и деления специальных обозначений не было. Знаков для цифр было всего два, обозначим их Е (единицы) и Д (десятки); позже появился значок для нуля. Цифры от 1 до 9 изображались как Е, ЕЕ, … ЕЕЕЕЕЕЕЕЕ. Аналогично записывались дроби. Для популярных дробей 1/2, 1/3 и 2/3 были специальные знаки.

Для умножения целых чисел больше 9 придумывается правило умножения в столбик. В Европе первоначально десятичные дроби записывали как целые числа в некотором оговоренном масштабе. Каждое целое число либо ноль, либо положительное, либо отрицательное. Определение: Рациональные и иррациональные числа вместе называют действительными (или вещественными) числами. Проблема в том, что производить арифметические действия (сложение, вычитание) с обыкновенными дробями уже не так удобно, как с целыми числами.