Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Решение. Даны векторы ε1(-5;3), ε2(-2;-4), X(36;-6). Точка плоскости, которая называется началом координат, и ортонормированный базис задаютдекартову прямоугольную систему координат плоскости.

Инструкция. Для онлайн решения необходимо задать количество векторов или размерность заданной матрицы. Пусть в R3 относительно канонического базисы даны четыре вектора f1 = (1,2,3), f2 = (2,3,7), f3=(1,3,1), x = (2,3,4).

Решение. Данная задача состоит из двух частей. Чтобы векторы образовывали базис, они должны быть линейно независимы. Т. к. по теореме Кронекера – Капелли система совместна и имеет единственное решение. В аудитории находится тележка с шоколадками, и каждому посетителю сегодня достанется сладкая парочка – аналитическая геометрия с линейной алгеброй.

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ. БАЗИС. АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ

Пример, конечно, некорректен с точки зрения свойств векторного пространства, но, тем не менее, никто не запрещает формализовать данные параметры вектором. Нет, я не собираюсь грузить вас теорией, линейными векторными пространствами, задача состоит в том, чтобы понять определения и теоремы.

Как определить коллинеарность векторов плоскости?

Таким образом, всё просто, доступно и наглядно. Помимо задач аналитической геометрии мы рассмотрим и некоторые типовые задания алгебры. Для освоения материала желательно ознакомиться с уроками Векторы для чайников и Как вычислить определитель? 1)Выбрать базис плоскости. Грубо говоря, у столешницы есть длина и ширина, поэтому интуитивно понятно, что для построения базиса потребуется два вектора. Это будет вектор . Теперь поместите мизинец правой руки на край стола точно так же – чтобы он был направлен на экран монитора.

Будут ли ваши пальчики задавать базис на плоскости компьютерного стола? Очевидно, что нет. Коллинеарные векторы путешествуют туда-сюда по одному направлению, а у плоскости есть длина и ширина. Такие векторы называют линейно зависимыми.

Есть только линейные (1-й степени) выражения и зависимости. Любой вектор плоскости единственным образом раскладывается по базису :, где – действительные числа. Числа называют координатами вектора в данном базисе.

То есть, выражение называют разложением вектора по базису или линейной комбинацией базисных векторов. Существенным моментом определения является тот факт, что векторы взяты в определённом порядке. Базисы – это два совершенно разных базиса! С базисом разобрались, но его недостаточно, чтобы задать координатную сетку и присвоить координаты каждому предмету вашего компьютерного стола. Почему недостаточно? Векторы являются свободными и блуждают по всей плоскости.

И таким ориентиром является знакомая всем точка – начало координат. Обязаны ли координатные векторы быть единичными? Такой базис называется ортогональным. Начало координат с векторами задают координатную сетку, и любая точка плоскости, любой вектор имеют свои координаты в данном базисе. Например, или . Очевидное неудобство состоит в том, что координатные векторы в общем случае имеют различные длины, отличные от единицы.

И второй вопрос, на который уже на самом деле дан ответ – обязательно ли угол между базисными векторами должен равняться 90 градусам? Нет! Как гласит определение, базисные векторы должны быть лишь неколлинеарными. Соответственно угол может быть любым, кроме 0 и 180 градусов. Впрочем, всё в этой жизни относительно – существует немало ситуаций, в которых уместна именно косоугольная (или какая-набудь другая, например,полярная) система координат.

Векторные пространства и их линейные преобразования

Из первого уравнения следует, что , из второго уравнения следует, что , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, соответствующие координаты векторов не пропорциональны.

Именно по этой причине я и назвал упрощенное решение «пижонским». Я очень и очень надеюсь, что на данный момент вам уже понятны все встретившиеся термины и утверждения. Ответ: а) , б) образуют. Выглядит значительно компактнее и симпатичнее, чем решение с пропорциями. Проверка векторов на коллинеарность – простая и очень распространенная задача аналитической геометрии.

Данное задание подробно рассмотрено на уроке Скалярное произведение векторов. С помощью рассмотренного материала можно устанавливать не только коллинеарность векторов, но и доказывать параллельность отрезков, прямых. Доказательство: Чертежа в задаче строить не нужно, поскольку решение будет чисто аналитическим.

Получился один и тот же вектор («по школьному» – равные векторы). Существует метод проверки пространственных векторов на коллинеарность и через определитель третьего порядка, данный способ освещен в статье Векторное произведение векторов. Аналогично плоскому случаю, рассмотренный инструментарий может применяться в целях исследования параллельности пространственных отрезков и прямых. Многие закономерности, которые мы рассмотрели на плоскости, будут справедливыми и для пространства.

Тем не менее, рекомендую внимательно прочитать вводную часть, так как появятся новые термины и понятия. Сначала создадим его базис. Кто-то сейчас находится в помещении, кто-то на улице, но в любом случае нам никуда не деться от трёх измерений: ширины, длины и высоты.

Одного-двух векторов мало, четвёртый – лишний. И снова разминаемся на пальцах. Далее зададимся важным вопросом, любые ли три вектора образуют базис трехмерного пространства? Три вектора расположились в одной плоскости, и, грубо говоря, у нас пропало одно из измерений – высота. Такие векторы являются компланарными и, совершенно очевидно, что базиса трёхмерного пространства не создают.

Векторы и образуют базис на плоскости, так как они не коллинеарны (, то есть соответствующие координаты этих векторов не пропорциональны). По условию даны четыре вектора, и, как видите, у них уже есть координаты в некотором базисе. 2) любая пара лежащих в данной плоскости неколлинеарных векторов и образует базис на этой плоскости.