Задача о кратчайшем пути в взвешенном графе. Алгоритм Дейкстры. Идея алгоритма Эдмондса (Jack Edmonds, 1965 г.) — в сжатии цветков (blossom shrinking). Потенциально этот же алгоритм способен на расчет цепей отклонения расположения.

Этот алгоритм получил наиболее широкое распространение. Он был опубликован в работе Эдмондса и Карпа в 1969 и имеет полиномиальную оценку O(nm2). На практике подобный алгоритм легко реализовать, используя поиск в ширину на первом этапе метода пометок Форда-Фалкерсона. Этот алгоритм, опубликованный в 1970 г., имел огромное значение.

Если поиск в ширину не достиг стока, то работа алгоритма прекращается. На рисунке вершины 2 и 5 являются тупиками. Сеть с уже найденным с помощью алгоритма Диница максимальным потоком. В остаточной сети находим кратчайший путь из источника в сток. Если такого пути нет, останавливаемся.

Таким образом, сложность алгоритма Эдмондса — Карпа равна O(VE2){\displaystyle O(VE^{2})}. Назовём расстоянием от вершины x до вершины у длину кратчайшего пути от x до y в остаточной сети. Если такого пути нет, будем считать расстояние бесконечным. Лемма. В ходе работы алгоритма ни одна вершина никогда не приближается к источнику. Идея алгоритма заключается в следующем.

Модифицируем остаточную сеть. Для всех рёбер на найденном пути, а также для противоположных им рёбер, вычисляем новую пропускную способность. Важно, что алгоритм не конкретизирует, какой именно путь мы ищем на шаге 2 или как мы это делаем.

Эти алгоритмы сходятся для любых вещественных весов за время O( V E 2){\displaystyle O( V E ^{2})} и O( V 2 E ){\displaystyle O( V ^{2} E )} соответственно.

Если величина пропускной способности хотя бы одного из рёбер — иррациональное число, то алгоритм может работать бесконечно, даже не обязательно сходясь к правильному решению. Следующий пример показывает первые шаги алгоритма Форда — Фалкерсона в транспортной сети с четырьмя узлами, источником A и стоком D. Этот пример показывает худший случай.

Приведенные в курсе алгоритмы представляют собой «классику» в области обработки данных. Большое количество информации об алгоритмах можно также найти в сети Интернет, как на англоязычных, так и на русских сайтах.

Теорема Бержа даёт основу для алгоритма Эдмондса — поиск увеличивающих цепей и чередование вдоль них, пока увеличивающие цепи находятся. Можно привести простой контрпример, когда при запуске из одной из вершин алгоритм, не обрабатывающий особо циклы нечётной длины (фактически, Алгоритм Куна) не найдёт увеличивающий путь, хотя должен.

К базовой вершине подходит чередующийся путь чётной (возможно, нулевой) длины, начинающийся в свободной (т.е. не принадлежащей паросочетанию) вершине, и этот путь называется стеблем (stem). Но тогда путь будет являться увеличивающим путём в графе , что и требовалось доказать.

Итак, мы рассмотрели все случаи и в каждом из них показали справедливость теоремы Эдмондса. Иначе — это «обычное» ребро, поступаем как и в обычном поиске в ширину. Такая оптимизация значительно (до нескольких раз) ускорит работу алгоритма на случайных графах. В двудольных графах отсутствуют циклы нечётной длины, и, следовательно, код, выполняющий сжатие цветков, никогда не выполнится.

Разработан алгоритм автоматизации размерного анализа технологических процессов, работающий на основе представления технологических размеров и их допусков в виде матриц смежности. Нумерация поверхностей обработки может осуществляться в произвольном порядке, что никак не влияет на расчеты, и составляться автоматически. Назначение средних значений припусков на обработку не рассматривается в данном примере, так как связанные с этим расчеты производятся вне основных матриц.

Предлагаемый алгоритм расчета размерных цепей Для решения поставленной задачи, прежде всего, требуется алгоритм, работающий только с вышеперечисленными исходными данными.

В связи с этим в качестве исходных данных принимается не только граф, но и размерные цепи. В разрабатываемом алгоритме используется две матрицы: средних размеров и допусков. Алгоритм нахождения кратчайшего пути (кратчайшей цепи) входит в качестве отдельного этапа подзадачи во многие вычислительные схемы оптимизации для экстремальных задач на графах.

Требуется в графе выделить кратчайшую цепь , соединяющую вершину с вершиной . Одним из наиболее экономных алгоритмов решения этой задачи принадлежит Дийкстра. Дальнейшая работа алгоритма осуществляется по шагам . На каждом шаге осуществляется преобразование некоторых пробных меток в постоянные.

Поиск кратчайшего пути между парами вершин в ориентированном и неориентированном графах путем использования алгоритма Флойда

Понятия и методы теории алгоритмов и алгебры логики лежат в основе современной теории и практики программирования. Оптимизационные задачи на графах.

Понадобилось мне найти на неориентированном невзвешенном графе кратчайшие пути от всех ко всем. Немного погуглив наткнулся на алгоритм Дейкстры. На выходе этого алгоритма я получаю что-то вроде QMap&…

На протяжении 10 лет все достижения в решении задачи о максимальном потоке базировались на методе Диница. Мы продолжаем поиск в ширину, но он уже не ведется из вершин v, для которых q(s, v) ≥ k. Таким образом, вспомогательная сеть будет содержать подсеть исходной.

Это в свою очередь может привести к образованию новых тупиков. В зарубежной литературе этот метод получил название capacityscaling. В целочисленном случае для нахождения максимального потока достаточно K+1 итерации. Пусть это не так, тогда при каком-то увеличении потока некоторые вершины приблизились к источнику.

Назовём критическим то из ребёр увеличивающего пути, у которого остаточная пропускная способность минимальна. Пускай это произошло на итерации t1{\displaystyle t_{1}}, а в следующий раз на итерации t2{\displaystyle t_{2}}. Удаляем все тупики (то есть вершины, кроме стока, откуда не выходит рёбер, и вершины, кроме источника, куда рёбер не входит) вместе со всеми инцидентными им рёбрами.

Обнуляем все потоки. На каждом шаге алгоритм добавляет поток увеличивающего пути к уже имеющемуся потоку. Если пропускные способности всех рёбер — целые числа, легко доказать по индукции, что и потоки через все рёбра всегда будут целыми. Невозможно говорить о практической или даже формальной реализации алгоритмов безотносительно структур и типов данных.

Метод Форда-Беллмана для нахождения расстояния от источника до всех вершин графа. Алгоритмы поиска расстояний и отыскания кратчайших путей в графах. Пусть q(u,v) – кратчайший путь из u в v. На каждом шаге работы алгоритма, для всех узлов v цепи {s, t} разностной сети, q(u,v) может только возрастать.