Однако чаще встречается определение расстояния от точки до прямой, в котором фигурирует длина перпендикуляра. На этом занятии мы научимся рассчитывать расстояние от точки до прямой. Это определение эквивалентно первому определению расстояния от точки до прямой. Расстояние от точки до прямой, следовательно, равно просто норме этого вектора.

Если задано уравнение прямойl то несложно найти s = {m; n; p} — направляющий вектор прямой и M1(x1, y1, z1) — координаты точки лежащей на этой прямой. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики. Если же при нахождении расстояния от точки до прямой есть возможность ввести прямоугольную систему координат, то можно воспользоваться методом координат.

Первый способ нахождения расстояния от заданной точки до заданной прямой на плоскости.

В зависимости от расположения точки М1 относительно прямой a возможны следующие варианты. Можно от заданного уравнения прямой с угловым коэффициентом перейти к общему уравнению этой прямой и действовать так же, как в разобранном выше примере. Мы знаем, что произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно -1 (смотрите статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых).

Отложим векторы и от точки М3 и построим на них параллелограмм. Знание наименьшего расстояния от точки до прямой может быть полезно во многих случаях, например, для поиска кратчайшего пути для выхода на дорогу, определение разброса графа, и подобное. В общем уравнении прямой ax + by + c = 0 коэффициенты a и b не могут быть одновременно равны нулю пока c не нулевое, а в случае всех нулевых коэффициентов уравнение не задаёт прямую.

Этот видеоурок могут просматривать только зарегистрированные пользователи

Аналогичным образом, для вертикальных прямых (b = 0) расстояние между той же точкой и прямой равно ax0 + c / a и измеряется вдоль горизонтального отрезка. Нормированное уравнение получается из общего уравнения прямой ax + by + c = 0 делением всех членов на a2+b2{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}. Это доказательство верно, только когда прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной.

Эта формула геометрически строится следующим образом: a−p{\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {p} } — это вектор из p в точку a на прямой. Эта общая формула может быть использована в более высоких размерностях.

Тогда в силу первого равенства M1M0×a =d• a . На примере заданной правильной треугольной призмы выведем формулу расчёта расстояния от любой точки до прямой линии (например, от угла призмы до противоположной стороны). В основании лежит правильный треугольник АВС, сторона которого равна √7, а боковое ребро призмы АА1 тоже равно √7: АВ=√3=АА1. Значит ВК1 является не только медианой, но и высотой в этом треугольнике.

Рассмотрим плоскость SDB и опустим в этом треугольнике перпендикуляр ВК. Мы не знаем, куда попадет точка К, то есть где находится основание перпендикуляра. Но у нас это и не спрашивают. Нас только спрашивают длину отрезка ВК. Поэтому мы можем не выяснять место положение точки К, а поступить следующим образом.

Если бы нас спросили место положение точки К, то теперь мы можем легко ответить на этот вопрос, поскольку мы знаем и ВК и BD, и могли бы найти DK по теореме Пифагора. Кроме того, а по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах (так как ), по­это­му этот па­рал­ле­ло­грамм — пря­мо­уголь­ник. По опре­де­ле­нию, угол между пря­мой и плос­ко­стью — это угол между пря­мой и её про­ек­ци­ей на плос­кость.

В этом пункте статьи мы подробно остановимся на двух способах нахождения расстояния от точки M1 до прямой a, которые заданы в прямоугольной декартовой системе координат Oxy на плоскости

Углы и равны как углы с вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми сто­ро­на­ми. Пусть — се­ре­ди­на ребра — се­ре­ди­на ребра По тео­ре­ме о сред­ней линии тре­уголь­ни­ка сле­до­ва­тель­но, точки лежат в одной плос­ко­сти. Итак, тан­ген­сы этих углов об­рат­ны друг другу, по­это­му углы в сумме дают 90^o и \angle KOB=180^o-90^o=90^o, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

В свою очередь первый способ нахождения расстояния от точки до прямой интуитивно понятен и отличается последовательностью и логичностью. Задание. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми 4x + 3y — 8 = 0 (AB) и 4x + 3y — 33 = 0. Решение.