При этом результат DTFT несмотря на то что это спектр дискретизированного сигнала — по-прежнему “аналоговая” функция. Амплитудный и фазовый спектры этого сигнала изображены на рис.2.3а,б. 2. График В – частота гармонического сигнала равна частоте Найквиста.

Поэтому длинные и широкие “хвосты” разнообразных спектров на таких графиках при отображении в “обычные” координаты как правило практически исчезают. Несложно понять, что исходя из свойств свертки, спектр исходного сигнала при этом как бы “копируется” бесконечное число раз вдоль оси частот с шагом 1/T, а затем суммируется. Простейший способ это сделать — это домножить спектр на прямоугольную функцию, равную T в диапазоне -1/2T…1/2T и нулю — вне этого диапазона.

Дискретизация усеченных сигналов

Для решения этой проблемы в FT и DTFT конечный сигнал просто дополняют слева и справа на бесконечность нулями. Совокупность гармонических составляющих, образующих сигнал несинусоидальной формы, называется спектром этого негармонического сигнала.

Выбор операторов А и В определяется требуемой точностью восстановления сигнала. Дискретизация называется равномерной с частотой F=1/Dt, если значение Dt постоянно по всему диапазону преобразования сигнала. Ы U(f), и выполним его дискретизацию, т.е. умножим сигнал на непрерывную последовательность импульсов Кронекера c(t)Ч u(t) ® u(t)d(t-kDt) = u(t)Ч ШDt(t).

Я предлагаю всем желающим узнать немного больше о преобразовании Фурье и близкой ему теме того как аналоговые сигналы удается эффективно превращать для вычислительной обработки в цифровые. Если приводить аналогии, то примером аналогичного по смыслу преобразования может послужить например дифференцирование, превращающее функцию в её производную.

Только в отличие от дифференцирования которое можно определить и для действительных чисел, преобразование Фурье всегда “работает” с более общими комплексными числами. График аргумента комплексного значения часто называют в данном случае “фазовым спектром”, а график модуля — “амплитудным спектром”. Амплитудный спектр как правило представляет намного больший интерес, а потому “фазовую” часть спектра нередко пропускают.

Дискретизация спектров

Обратите внимание что не очень сильно отрицательным числам логарифмического графика (-20 дБ и менее) при этом соответствуют практически нулевые числа на графике “обычном”. Кроме того, в практических задачах часто удобнее оперировать не «амплитудой» сигнала, а его «мощностью» (квадратом амплитуды). Определившись с тем, что же рисуется на графиках, давайте вернемся собственно к преобразованию Фурье и его свойствам.

Например в наших ВУЗах почему-то часто используют нормировку преобразования Фурье определяющую спектр в терминах угловой частоты (радианов в секунду). Я буду использовать более удобную западную формулировку, определяющую спектр в терминах обычной частоты (герцах). Если мы берем какую-то линейную комбинацию функций, то преобразование Фурье этой комбинации будет такой же линейной комбинацией образов Фурье этих функций.

Если взять функцию, состоящую из суммы множества синусоид с разными частотами, то согласно свойству линейности, фурье-образ этой функции будет состоять из соответствующего набора дельта-функций.

Квантование сигналов

Если мы подвинем функцию влево или вправо по оси x, то поменяется лишь её фазовый спектр. Наконец последнее, седьмое свойство, говорит о том, что преобразование Фурье сохраняет “энергию” сигнала. Этот результат широко известен и называется “теорема Котельникова / Шеннона-Найквиста”.

Замечу, что “дублирование” высоких частот частотами меньших порядков (алиасинг) — непосредственное свойство дискретизации сигнала, необратимо “портящее” результат. Еще одно распространенное заблуждение, кстати, — это когда сигнал на выходе ЦАП рисуют “ступеньками”. При этом ненужные высокие частоты с “лишними копиями” спектра обрезаются не полностью, а верхняя часть “полезной” части спектра, напротив, ослабляется.

До сих пор мы предполагали что на вход наших преобразований поступает сигнал определенный от минус до плюс бесконечности. Однако реальные доступные нам сигналы всегда имеют конечную длину — что делать? Однако часто «конечный» сигнал используемый для преобразования Фурье на самом деле является частью более длинного, возможно бесконечного сигнала, такого как, например, синусоида. Этот эффект называют “спектральной утечкой” и полностью победить его для бесконечных сигналов невозможно, но чем длиннее интервал на котором измеряется сигнал — тем меньше влияние этой утечки.

Последнее преобразование удобно нормализовать, убрав из него T и вопросы связанные с выбором “окна”. Соответствующие алгоритмы называют “быстрым преобразованием Фурье” (БПФ, FFT) и их, вообще говоря, существует несколько. Получившиеся значения есть равномерная сетка отсчетов по спектру DTFT. Чем больше отсчетов — тем мельче сетка, тем подробнее виден спектр.

При этом согласно свойству 5 преобразования Фурье, спектр получившегося дискретного сигнала есть свертка исходного спектра с соответствующей гребенкой Дирака. Если исходный сигнал изначально был конечным (скажем, это отдельный импульс) и в преобразование Фурье он попал полностью, то этот подход напрямую дает желаемый результат.