Пример 1 (см. рис. 57.10). Если отображение инъективно, этот морфизм будет называться мономорфизмом. Рис. 57.11. Это отображение, но не морфизм. Здесь те же упорядоченные множества, что и в предыдущем примере (см. рис. 57.10), но отображение другое. Если отображение одновременно инъективное и сюръективное, то оно биективное. Рис. 57.6. Инъективная функция. Таким образом, отображение биективно, а упорядоченные множества и — двойственны.

Инъекцию также называют вложением или одно-однозначным отображением (в отличие от биекции, которая взаимно-однозначна). Если какому-либо элементу множества A соответствует более одного элемента множества B, то отображение многозначное. Тогда отображение, ставящее в соответствие каждому олигарху его особняки, является многозначным. В дискретной математике, как правило, рассматриваются однозначные отображения.

Далее мы рассмотрим некоторые виды однозначных отображений, для простоты понятие «однозначное» иногда будем опускать. А вот в примере с солдатами отображение из множество солдат во множество батальонов — неинъективное.

Что такое биективное отображение

Инъективные отображения применительно к современным технологиям важны тем, что только такие отображения могут применяться для кодирования информации. Отображение из A в B, при котором в каждый элемент из B отображается хотя бы один элемент из A, называется сюръективным.

Отображение, ставящее в соответствие голу игрока, который его забил, не является сюръективным, если некоторые игроки вообще не забили ни одного гола (например, почти стопроцентно это вратари).

В этом случае говорят, что между множествами установлена биекция (или взаимно однозначное соответствие). Обозначим X — количество элементов множества X. Если A и B конечны, выходит вот что. Если A > B , то нельзя построить инъективного отображения.

Более того, построена биекция между множеством и его подмножеством. Сюръективное отображение или сюръекция. Рис. 57.2. Сюръекция. Инъективное отображение или инъекция. Отображение в называется инъекцией, если каждый элемент есть образ только одного элемента , либо вообще не имеет прообраза. Как можно видеть, если для любого , то отображение является инъекцией.

Как можно видеть, если для всех , то отображение биективно. Функция может быть сюръективной, инъективной или биективной. Очевидно, что если функция биективная, то тоже биективная. Если порядок полный, то изотонное отображение будет называться монотонно неубывающим отображением. Пример 1. На рис. 57.8 показаны два вполне упорядоченных множества и , представленные соответствующими максимальными цепями.

Морфизм упорядоченных множеств. Мономорфизм упорядоченных множеств. Изоморфизм упорядоченных множеств. Это изучение бесполезно продолжать; отображение не мономорфизм. Следовательно, данное отображение есть морфизм. Действительно, — морфизм, это также и эпиморфизм, но не мономорфизм. Рис. 57.15. Мономорфизм. Таким образом, отображение подмножества в действительно изотонно.

Таким образом, отображение — морфизм. Это видно непосредственно из рисунка. Рис. 57.17. Изоморфизм. Пример 10 (см. рис. 57.19) на автоморфизм: легко проверить, что отображение есть изоморфизм и обратное отображение — тоже изоморфизм. Рис. 57.19. Автоморфизм. Для отображения его можно проверить непосредственно, по симметрии. Морфизм структуризованного множества в структуризованное множество . Мы рассмотрели понятие морфизма и другие понятия, связанные с упорядоченными множествами.

Как можно видеть, мы снова получили определения, касающиеся упорядоченных множеств, но условие изотонности здесь заменено условием (57.34), а отображение стало функциональным. Пример 1. Рассмотрим множество , на котором определен внутренний закон (рис. 57.21, слева), и множество , на котором определен закон (рис. 57.21, справа).

Заметим, что этот способ композиции двух бинарных отношений совпадает с тем, который определен в (13.10), и к тому же представляет собой только частный случай определения (13.9). Композиция отображений. Если для всех рассматриваемых отображений одно и то же множество служит как областью определения, так и областью значений, то существует единственная единица и множество отображений образует моноид.

Что такое однозначное инъективное и однозначное сюръективное отображение

Мы рассмотрели случай функциональных отображений или функций между структуризованными множествами. Аналогичное доказательство будет проведено для отображений, функциональных или нет, между упорядоченными множествами. Соответствие называется Функциональным, если образом любого элемента из Пр1G является единственный элемент из Пр2G. Таким является соответствие, представленное на рис.1.12.в.

На рис. 57.8 и 57.9 изображены морфизмы. Отображение, ставящее в соответствие государству его столицу, — инъективное. Рис. 57.12. Эпиморфизм. Действительно, — морфизм, но не эпиморфизм (имеется по крайней мере один , в который не входит ни одна дуга). Проверим, будет ли это отображение мономорфизмом.