В кн.: Вопросы методики преподавания физики в вузе и школе в связи с введением государственного стандарта педагогического образования. Вычислить приближенное значение функции в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность.

Выполняя вычисления, всегда необходимо помнить о той точности, которую нужно или которую можно получить. Твёрдое знакомство с правилами приближенных вычислений необходимо каждому, кому приходится вычислять.

При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков. Во всех промежуточных результатах следует сохранять одной цифрой более, чем рекомендуют предыдущие правила.

Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с K цифрами данные следует брать с таким числом цифр, какое даёт согласно правилам 1-4(К+1) цифру в результате. На данном уроке мы рассмотрим широко распространенную задачу о приближенном вычислении значения функции с помощью дифференциала. Задача о приближенных вычислениях с помощью дифференциала обладает жёстким алгоритмом решения, и, следовательно, особых трудностей возникнуть не должно.

Материал очень полезный, поскольку погрешности приходится рассчитывать и в других задачах. Можно использовать Эксель, но в данном случае он менее удобен. Смотрим на левую часть формулы , и в голову приходит мысль, что число 67 необходимо представить в виде . Как проще всего это сделать? Рекомендую следующий алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе: – получилось 4 с хвостиком, это важный ориентир для решения.

Найденное приближенное значение достаточно близко к значению , вычисленному с помощью микрокалькулятора. Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом. Это пример для самостоятельного решения. Антиквариат водился и у нас на физмате, правда, размером поменьше – где-то с парту. Вот так вот и мучились наши предки с методами приближенных вычислений.

Абсолютная и относительная погрешность вычислений

Так или иначе, задача осталась в стандартном курсе высшей математики, и решать её придётся. Вторая часть задания состоит в том, чтобы найти абсолютную и относительную погрешность вычислений. Важно, насколько далеко приближенный результат отклонился от точного значения в ту или иную сторону. После короткой справки вернемся к нашей задаче, в которой мы вычислили приближенное значение функции с помощью дифференциала.

Приближенные вычисленияс помощью дифференциала функции одной переменной

Многие обратили внимание, что во всех рассмотренных примерах фигурируют корни. Это не случайно, в большинстве случаев в рассматриваемой задаче действительно предлагаются функции с корнями. Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до двух знаков после запятой.

Но дело не в этом, школьная задача округления, думаю, не представляет для вас сложностей. Дело в том, что у нас дан тангенс с аргументом, который выражен в градусах. Значение нужно представить в виде . Серьёзную помощь окажет таблица значений тригонометрических функций.

После предварительного анализа градусы необходимо перевести в радианы. В данном примере непосредственно из тригонометрической таблицы можно выяснить, что . По формуле перевода градусов в радианы: (формулы можно найти в той же таблице). Таким образом: (при вычислениях используем значение ). Результат, как и требовалось по условию, округлён до двух знаков после запятой. Как видите, ничего сложного, градусы переводим в радианы и придерживаемся обычного алгоритма решения.

С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения

Всё будет очень и очень похоже, поэтому, если вы зашли на эту страницу именно этим заданием, то сначала рекомендую просмотреть хотя бы пару примеров предыдущего пункта. Как и для случая функции одной переменной, условие задачи может быть сформулировано по-разному, и я постараюсь рассмотреть все встречающиеся формулировки.

Погрешности рассчитываются по стандартным формулам, о которых уже шла речь в этой статье. Кто остановится подробнее на данном примере, тот обратит внимание на то, что погрешности вычислений получились весьма и весьма заметными.

Отличие от Примеров 8-9 состоит в том, что нам сначала необходимо составить функцию двух переменных: . Как составлена функция, думаю, всем интуитивно понятно. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора.

Физика». – М.: МПУ, 1998. – С. 182-188. 49. Бершадский М.Е. Правила приближенных вычислений при записи результатов прямых измерений физических величин. В кн.: Справочник учителя физики.