2) – члены ряда убывают по модулю. Задание часто формулируют эквивалентно: Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала. Этот ряд сходится (по признаку Лейбница). Используем признак Лейбница: 1) Ряд является знакочередующимся.

0 Таким образом, если Вы только-только приступили к изучению темы или являетесь чайником в высшей математике, необходимопоследовательно проработать три урока: Ряды для чайников,Признак Даламбера.

Получен числовой ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость (уже знакомая из предыдущих уроков задача)

Как видите, все члены функционального ряда – это функции. Это тоже степенные ряды (при желании их можно переписать с отсутствующими степенями и нулевыми коэффициентами). Лучше выберем какой-нибудь простой подопытный ряд и сразу начнём разбираться. Очевидно, что, подставляя в то или иное значение «икс», мы получаем различные числовые ряды. Некоторые числовые ряды будут сходиться, а некоторые расходиться. И наша задача найти множество значений «икс», при котором степенной ряд будет сходиться.

Получился точно такой же числовой ряд, сходимость которого мы только что доказали

Подчеркиваю, что данная классификация справедлива для степенных рядов. Для произвольного функционального ряда она в общем случае является неверной. На первом этапе находим интервал сходимости ряда. В большинстве заданий используется схема, основанная на признаке Даламбера.

Дело в том, что наш предел и так будет неотрицательным, а вот «икс» вполне может принимать отрицательные значения. Потому что «динамической» переменной в пределе у нас является «эн», и от этого нашему «иксу» ни жарко ни холодно. То есть, степенной ряд сходится при любом значении «икс». Ответ можно записать эквивалентно: «Ряд сходится при » (значок в математике обозначает принадлежность).

Решение: В общий член степенного ряда входит множитель , обеспечивающий знакочередование

А сначала-то казалось, что этот ряд со «страшной начинкой» будет трудно решить. Это пример для самостоятельного решения. Подынтегральная функция непрерывна на . Таким образом, полученный числовой ряд расходится вместе с соответствующим несобственным интегралом. 2) Исследуем второй конец интервала сходимости. Предел по той причине, что числитель и знаменатель одного порядка роста. Более подробно об этом моменте и «турбо»-методе решения читайте в статье Признак Даламбера.

По всем признакам для полученного числового ряда следует применить предельный признак сравнения. Почему получилась двойка, а не ноль? Перечитайте классификацию области сходимости степенного ряда. Хотя, наверное, многие уже понимают, почему. Признаки Коши. Логически этот урок является третьим по счёту, и он позволит не только разобраться в знакочередующихся рядах, но и закрепить уже пройденный материал!

Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся»

Что такое знакочередующийся ряд? Это понятно или почти понятно уже из самого названия. У членов знакочередующегося ряда чередуются знаки: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус и т.д.

Вернемся к ряду . Мысленно сотрём ластиком все знаки и посмотрим на числа. Мы увидим, что каждый следующий член ряда меньше, чем предыдущий. Кроме того, члены ряда могут даже некоторое время возрастать по модулю, но «хвост» ряда обязательно должен быть монотонно убывающим.

1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему. Исследуем полученный числовой ряд на сходимость. Вывод: Ряд сходится. Полученный числовой ряд не является абсолютно сходящимся поскольку – расходится (по доказанному). 1) Проверка ряда на знакочередование.