Рассмотрим сначала интерполяционный полином в форме Лагранжа. Итак, число узлов интерполяционного полинома всегда должно быть на единицу больше его степени. Но стал вопрос о выборе оптимальных точек интерполирования.

При неоптимальном распределении узлов интерполяции на отрезке возможно увеличение погрешности с ростом степени интерполяционного полинома и возникновение осцилляции на концах отрезка. Как было показано выше, и в чём мы убедимся в дальнейшем, от выбора узлов зависит точность, с которой полином будет приближать функцию.

В данном случае будет 5 узлов и, следовательно, интерполяционный полином получится 4-ой степени. Мы рассмотрели выбор чебышевских узлов, когда отрезок, на котором производится интерполирование функции, есть . На первый взгляд кажется, что чем больше узлов в сетке с увеличением ƒ(x), тем все ближе и ближе интерполяционный полином будет к интерполируемой функции.

Ошибка интерполяции, чебышевские узлы

Рассмотрим применение этого приема при интерполяции полиномами. Если в качестве рассмотреть отрезок , то мы получим задачу, которая решается с помощью полиномов Чебышева. Кратко остановимся на главных моментах темы интерполяции полиномами. Если в интерполяционной таблице все различны ( при ), то существует единственный интерполяционный полином, степень которого на единицу меньше, чем размерность интерполяционной таблицы.

3.3. Кусочно-линейная интерполяция

У меня есть еще один вопрос: а есть ли альтернативная формула нахождения узлов, которая не использует тригонометрические функции? Но мне не совсем ясно, как с помощью полиномов Чебышева осуществить это. Не могли бы вы подсказать, в сторону использования какой формулы надо смотреть? Вопрос: а какую интерполяционную формулу надо использовать для полиномов Чебышёва?

Способ вычисления полинома в точке

Это понятно из интуитивных соображений: через 2 точки можно провести единственную прямую, через 3 — единственную параболу и т.д. Но полином может получиться и меньшей степени.

При этом важно понимать, что при теоретическом применении различных методов они приводят к одинаковому результату, т.е. мы получим один и тот же полином. Чтобы изобразить графически аппроксимирующий полином, необходимо вычислить его значение в ряде точек. Это можно сделать следующими способами.

Для реализации поставленной задачи была написана программа на языке С++, которая по заданной функции приближает её каноническим полиномом. На выходе получаем коэффициенты для полинома и ошибку аппроксимации. Что интересно, если при этом же количестве узлов выбирать их на отрезке , то ошибка аппроксимации становится ещё меньше : 0.0124. Как видим, наилучшее приближение получается при выборе узлов по методу Чебышева.

После запуска программы на экране появляются коэффициенты интерполяционного полинома и ошибка аппроксимации. В ходе исследований установлено, что ошибка интерполяции получается как из-за ошибок компьютерных вычислений, так и из-за ошибок метода. Цель этого раздела — демонстрация возможностей MATLAB для изучения вопросов, возникающих при интерполяции функций, в основном при помощи интерполяционных полиномов.

3.2. Локальная и глобальная интерполяция

Если ƒ(x) табличная функция, скажем полученная из эксперимента, т.е. известны только ее значения yk в точках xk, то, вообще говоря, о качестве полученного приближения судить трудно. Итак, интерполяционный полином существует и единственный. Установим зависимость числа обусловленности этой матрицы от числа узлов интерполяции, предполагая, что они распределены равномерно на отрезке . В результате получаем зависимость числа обусловленности матрицы от количества узлов интерполяции, приведенную на следующем графике (масштаб по оси ординат логарифмический).

Далее мы будем использовать обозначение для интерполяционного полинома в зависимости от способа его построения. Итак, мы ищем полином Ln(x) степени не выше n, значения которого совпадают со значениями yk заданной функции ƒ(x) в узлах xk, где k=1,2,…,n+1 и все узлы различны.

Если требуется найти значения интерполяционного полинома в достаточно большом числе точек, то можно поступить более эффективным способом. Входной аргумент xx функций lagrange и lagrangef может быть массивом значений аргумента, для которых требуется вычислить значение интерполяционного полинома.

В качестве тестового примера проинтерполируем функцию sin x на отрезке с шагом 2 и построим графики sin x и полученного интерполяционного полинома. В результате получаем вполне предсказуемый результат, чем ближе степень интерполяционного полинома к 5-ой, тем лучше приближение.

1, 1.5] с десятью, двадцатью и тридцатью равноотстоящими узлами и получим, интерполяционные полиномы L9(x), L19(x) и L29(x), соответственно, девятой, девятнадцатой и двадцать девятой степени. Вычислительные свойства интерполяционного полинома делают его неприменимым при достаточно большом числе узлов интерполирования.

6.8. Обусловленность задачи интерполяции. Постоянная Лебега

Из этой оценки видно, что мы можем управлять максимальной ошибкой за счет подходящего выбора узлов интерполяции. При помощи этого рекуррентного соотношения можно последовательно получить формулы для полиномов Чебышева любой степени. Корни полиномов Чебышева расположены симметрично относительно нуля на отрезке и неравномерно — чем ближе к краям отрезка, тем корни расположены плотнее.

Для целых функций, т.е. таких, которые в любой точке представить в виде сходящегося бесконечного степенного ряда, ситуация намного лучше, как утверждает следующая теорема. В процессе вычислений значения интерполируемой функции известны с некоторой погрешностью. Возникает вопрос о чувствительности интерполяционного полинома к ошибкам начальных данных (обусловленности задачи интерполяции ) и к ошибкам округления (вопрос вычислительной устойчивости).

Был исследован и программно реализован метод интерполяции функции каноническим полиномом. Теперь возьмем интерполяционные полиномы достаточно высокой степени и проследим за ошибкой интерполирования. Сформируем два важных утверждения, связанных с оптимальным выбором узлов интерполяции. Практический вывод. Если интерполяция может выполняться с произвольным выбором узлов на отрезке , то целесообразно в качестве узлов выбрать нули полинома Чебышева.