Аналогично определяются геодезические линии на искривлённых поверхностях, вложенных в евклидово пространство большей размерности. Кратчайшая линия, соединяющая две точки пространства, называется геодезической линией. Касательная плоскость — Пример простой поверхности Поверхность традиционное название для двумерного многообразия в пространстве. В случае дифференцируемых многообразий с линейной связностью Г. л.- кривая , вдоль к-рой касательный вектор переносится параллельно (=1,2, . . ., N, где N — размерность пространства).

Если пространство не является евклидовым, то эта линия не является прямой. На геодезической линии величина , где — дифференциал длины дуги геодезической, принимает экстремальное значение. Проведем произвольную линию u(t) из исходного положения рассматриваемой точки в ее новое положение. Таким образом, геодезические линии должны удовлетворять уравнениям (7.9.8).

В частном случае декартовых прямоугольных координат и уравнениями геодезических линий являются интегралы уравнений которые совпадают с линейными функциями (7.8.26). Рассмотрим теперь движение вдоль меридиана и покажем, что меридиан также является геодезической линией. Во внутренней геометрии поверхности роль прямых играют так называемые геодезические линии или, как принято говорить, просто «геодезические».

Иначе говоря, геодезическая — это такая кривая на поверхности, у которой всякая достаточно малая дуга является кратчайшей. Геодезическая может быть, как видим, даже замкнутой кривой. Чтобы выяснить йекоторые важные свойства геодезических, рассмотрим следующую механическую модель.

Смотреть что такое «длина геодезической линии» в других словарях:

Последнеесвойство геодезических еще больше углубляет их сходство с прямыми линиями. Следовательно, на второй поверхности кривая тоже будет геодезической. Те же линии отпечатываются на цилиндре если катить его по плоскости, на которой мелом начерчена прямая. Аналогия геодезических с прямыми на плоскости может быть дополнена еще одним важным свойством, которое часто берут за определение геодезических.

Ход геодезических на различных поверхностях может быть весьма разнообразным. Для примера на рис. 41 изображено несколько геодезических на гиперболоиде вращения. На таких линиях обращается в нуль геодезическая кривизна; главная нормаль этих кривых параллельна нормали к поверхности. Г. л. в соответственно подобранном римановом пространстве.

Глоссарий по физике

Связь поля Якоби с кривизной обусловливает зависимость свойств геодезических от кривизны пространства. Геодезический поток). В частности, расстояние до первой сопряженной точки и длины векторов поля Якоби на этом участке (нормированных требованием η(0) = 0, Dη/ds = 1) убывают с ростом кривизны пространства.

Пусть — криволинейные координаты в трехмерном пространстве. Рассмотрим поведение точки, координаты которой являются варьируемыми параметрами связей, в криволинейной системе координат. Пусть в исходном состоянии рассматриваемая точка имела координаты . После изменения уравнений связей или констант в уравнениях связей она займет новое положение в пространстве. Пусть при линия проходит через исходную точку с координатами , а при линия проходит через новое положение точки. Найдем уравнения линии, для которой функционал (7.9.1) принимает минимальное значение.

Эти уравнения представляют собой уравнения Эйлера (7.8.8) для частного случая функционала (7.9.1), но в общем случае криволинейных координат. Таким образом, если мы описываем геометрические объекты в криволинейной системе координат, то мы должны пользоваться вариационным критерием их поведения.

Поверхность — У этого термина существуют и другие значения, см. Поверхность (значения). В классической физике пространство было эвклидовым, а время абсолютным и единым для всего пространства.

В геометрии вводится понятие геометрического объекта. Не перечисляя всех объектов геометрии назовем только скаляры, векторы и тензоры. Повсюду в этой книге мы будем использовать это правило, два повторяющихся индекса один верхний, другой — нижний будет означать, что по ним производится суммирование.

Теперь можно определить норму вектора, аналогично тому, как это делается в эвклидовой геометрии. Норма называется также длиной вектора. Как видно из определения изотропного вектора он обладает нулевой длиной. Следует заметить, что таким свойством обладают только изотропные вектора. Здесь следует заметить, что оба вектора и являются либо пространственноподобными, либо изотропными.

На самом деле в быту мы сталкиваемся с примера геометрии искривленного пространства значительно чаще, чем привыкли думать. Примеры идеальных плоскостей, таких как крышка стола или ровный листок бумаги в этом ряду выглядят, скорее исключениями, чем правилом.

Приведем это уравнение к стандартной форме, принятой в неэвклидовой геометрии. Прямую на плоскости можно определить как линию, составленную из отрезков, частично налегающих друг на друга. Точно так же определяется геодезическая, только роль отрезков играют кратчайшие. Верна и обратная теорема: всякая кривая на регулярной поверхности, обладающая указанным свойством, является геодезической.

В неэвклидовой геометрии понятие прямой заменяется понятием геодезической линии, которая является экстремальным путем между двумя точками. При сравнении с кривыми, не близкими к данной геодезической линии, последняя может и не быть кратчайшей. В прямоугольной декартовой системе координат кратчайшая линия, соединяющая две точки пространства, описывается линейной функцией.