В-четвертых, будут разобраны дополнительные интегралы от тригонометрических функций. И в заключении рассмотрим интеграл от корня, под которым находится дробь, в числителе и знаменателе дроби – линейные функции.

Урок создан по неоднократным просьбам посетителей, которые высказывали пожелания, чтобы на сайте были разобраны и более трудные примеры. Чайникам и людям, которые не очень уверенно разбираются в интегралах, следует обратиться к самому первому уроку – Неопределенный интеграл. Примеры решений, где можно освоить тему практически с нуля. Более опытные студенты могут ознакомиться с приемами и методами интегрирования, которые в моих статьях еще не встречались.

То есть, в одном примере комбинируются сразу два приёма. Затем мы познакомимся с интересным и оригинальным методом сведения интеграла к самому себе. Данным способом решается не так уж мало интегралов. Третьим номером программы пойдут интегралы от дробей, которые пролетели мимо кассы в предыдущих статьях. Конечно, название урока не совсем точно, будут и не сказать, что сильно сложные интегралы.

Интеграл от неразложимого многочлена 2-й степени в степени

В ряде случаев удается «легко отделаться», то есть сразу после замены получается простой интеграл, который элементарно берётся. Самым легким из предложенных выше заданий является Пример 4, в нём после замены получается относительно несложный интеграл. Еще один типовой интеграл для самостоятельного решения. Если под квадратным корнем находится квадратный трехчлен, то решение в любом случае сводится к двум разобранным примерам.

Интеграл от корня из дроби

Далее проводится линейная замена, которая обходится «без всяких последствий»:, в результате чего получается интеграл . Нечто знакомое, правда? Или такой пример, с квадратным двучленом: Выделяем полный квадрат: И, после линейной замены , получаем интеграл , который также решается по уже рассмотренному алгоритму. Рассмотрим еще два типовых примера на приём сведения интеграла к самому себе: – интеграл от экспоненты, умноженной на синус; – интеграл от экспоненты, умноженной на косинус.

То есть, за можно обозначить и тригонометрическую функцию. Перед тем как решать, подумайте, что выгоднее в данном случае обозначить за , экспоненту или тригонометрическую функцию? Примеры были рассмотрены не самые сложные. Кроме того, велика вероятность ошибки в знаках, обратите внимание, что в показателе экспоненты есть знак «минус», и это вносит дополнительную трудность.

Потихоньку подбираемся к экватору урока и начинаем рассматривать интегралы от дробей. Опять же, не все они суперсложные, просто по тем или иным причинам примеры были немного «не в тему» в других статьях. Интеграл такого вида решается с помощью стандартной замены.

Методом сведения интеграла к самому себе

Этот интеграл тоже из разряда тех, с которыми можно изрядно промучиться, если не знаешь, как решать. Что делать, если дополнительно в числителе есть многочлен? В этом случае используется метод неопределенных коэффициентов, и подынтегральная функция раскладывается в сумму дробей.

Если такой интеграл все-таки встретится, смотрите учебник – там всё просто. Начнем с тангенсов и котангенсов в высоких степенях. 2) Для одного из множителей используем формулу (3) Раскрываем скобки и сразу же используем свойство линейности неопределенного интеграла. 4) В первом интеграле используем метод подведения функции под знак дифференциала. На вышеупомянутом уроке мы рассматривали универсальную тригонометрическую подстановку для решения определенного вида интегралов от тригонометрических функций.

Справочник репетитора по математике. Список табличных интегралов

И в ряде случаев универсальной тригонометрической подстановки можно избежать! Думаю, теперь ни у кого не возникнет проблем с интегралами: и т.п. Интеграл, который мы рассмотрим, встречается достаточно редко, но я буду очень рад, если единственный пример данного параграфа вам поможет.

Рассмотрим неопределенный интеграл:, где – числа. Руководствуясь законом подлости, считаем, что все эти числа коэффициенты не равны нулю. Это уже не смешно, так обычно и бывает. Иногда встречаются интегралы вида , , но это нужно быть либо слишком умным либо попасть под раздачу. Теперь вам практически любой интеграл по силам, успехов! Для вычисления таких интегралов, можно было бы обойтись без комплексных чисел, однако вычисления были бы более громоздкими.

Более редкий, но, тем не менее, встречающий в практических примерах вид интеграла. Такой интеграл берётся по частям и сводится к самому себе. В принципе не сложно. Данная статья завершает тему неопределенных интегралов, и в неё включены интегралы, которые я считаю достаточно сложными.