Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции. Находить производные таких функций по таблицам и правилам дифференцирования. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы.

Мы уже рассмотрели понятие сложной функции. Легче всего понять, как находится производная сложной функции, рассматривая конкретные примеры. Полезно запомнить, что, как только появляется степень, то внешняя функция — степенная, а внутренняя — это то, что в степень возводится. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком.

Примеры решения задач с производными

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных. Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий.

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.

Производные высших порядков

В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Что мы вычислим в первую очередь? Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем. Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения.

Геометрический смысл производной

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках.

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций. Разбираемся во вложениях этой функции. То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Под штрихом у нас снова сложная функция! Но она уже проще. Легко убедиться, что внутренняя функция – арксинус, внешняя функция – степень. На практике правило дифференцирования сложной функции почти всегда применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования. Обратите внимание на приоритет (порядок) применения правил:правило дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь. Для закрепления темы рекомендую статью Сложные производные.

Помимо рассмотрения дополнительных примеров, есть и новый материал! Если задания покажутся слишком трудными (у всех разный уровень подготовки), то сначала посетите страницу Простейшие типовые задачи с производной, там рассмотрено ещё порядка 15-ти производных.

Также оттуда нам потребуется Таблица производных, ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но и в оффлайне. Хорошая новость состоит в следующем: чтобы научиться находить производные, совсем не обязательно знать и понимать, что такое производная.

Но сначала будем учиться находить производные простых функций

Теперь посмотрим на решение и проанализируем, что же произошло? Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию. Посмотрите еще раз на таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. Единственным исключением является экспоненциальная функция , которая превращается сама в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Функция и её производная – это две разные функции! Вернемся к нашей таблице производных. Данные знания являются элементарными знаниями о производных. И если Вы не сможете ответить преподавателю на вопрос «Чему равна производная числа?», то учеба в ВУЗе может для Вас закончиться (лично знаком с двумя реальными случаями из жизни). Кроме того, это наиболее распространенные формулы, которыми приходится пользоваться практически каждый раз, когда мы сталкиваемся с производными.

Обычно в ходе решения эти два правила применяют одновременно (чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение). Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная найдена. Эта необычное правило (как, собственно, и другие) следует из определения производной. Сложно? Вовсе нет, вполне доступно даже для чайника. В данной функции содержится сумма и произведение двух функций – квадратного трехчлена и логарифма . Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.

В данном примере f – функция возведения в квадрат, а g(x) = 2x+1 – линейная функция. Первые примеры были на сложные функции, в которых промежуточный аргумент по независимой переменной был простой функцией. Это простейший пример, пожалуйста, найдите его в таблице производных элементарных функций. Следующий этап — нахождение производной.