Поэтому зависимости координаты и скорости тела от времени при колебаниях описываются периодическими функциями времени. Видно, что или — циклическая частота при колебаниях математического маятника. Необходимо помнить формулы для периода (или частоты) колебаний пружинного и математического маятников.

В этот момент оно обладает максимальной кинетической и минимальной потенциальной энергией. Таким образом, при гармонических колебаниях происходит периодическое превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Если в колебательной системе отсутствует трение, то полная механическая энергия при свободных колебаниях остается неизменной. Здесь hm – максимальная высота подъема маятника в поле тяготения Земли, xm и υm = ω0xm – максимальные значения отклонения маятника от положения равновесия и его скорости.

На рис. 2.4.1 изображены графики функций Ep(t) и Ek(t). Потенциальная и кинетическая энергии за период колебаний два раза достигают максимальных значений. При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими (рис. 2.4.2).

Математическим маятником называется массивное тело, размерами которого можно пренебречь, совершающее колебания на длинной, невесомой и нерастяжимой нити (правый рисунок)

Период колебаний или (формула Галилея). Амплитудой колебаний называется максимальное отклонение колеблющегося тела от положения равновесия. Название этой системы – «математический маятник» связано с тем, что она представляет собой абстрактную математическую модель реального (физического) маятника.

Чтобы найти циклическую частоту колебаний груза в задаче 11.1.1 найдем сначала период колебаний, а затем воспользуемся формулой (11.2). Через период груз вернется назад в точку максимального отклонения, совершив полное колебание. За 2,5 периода в задаче 11.1.4 тело успеет совершить два полных и половину полного колебания, т.е. окажется на максимальном отклонении, но с другой стороны от положения равновесия.

Период — это время полного колебания. Амплитуду колебаний скорости (задача 11.1.10) проще всего найти по закону сохранения энергии. В точке максимального отклонения энергия колебательной системы равна потенциальной энергии пружины , где — коэффициент жесткости пружины, — амплитуда колебаний. Поэтому период колебаний груза на вертикальной и горизонтальной пружине — одинаков (конечно, при условии, что и сам груз и пружины одинаковы).

Для груза на горизонтально расположенной пружине потенциальная энергия – это энергия упругих деформаций пружины. Когда тело при своем движении проходит через положение равновесия, его скорость максимальна. Скорость затухания колебаний зависит от величины сил трения. Интервал времени τ, в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2,7 раз, называется временем затухания.

При возрастании сил трения собственная частота уменьшается. Однако, изменение собственной частоты становится заметным лишь при достаточно больших силах трения, когда собственные колебания затухают быстро. Чем медленнее происходит затухание свободных колебаний, тем выше добротность Q колебательной системы.

Таким образом, добротность характеризует относительную убыль энергии колебательной системы из-за наличия трения на интервале времени, равном одному периоду колебаний

Об­ду­маю. А в этой за­да­че, тогда сле­ду­ет уточ­нить какой это ма­ят­ник — го­ри­зон­таль­ный или вер­ти­каль­ный и о ко­ле­ба­ни­ях по­тен­ци­аль­ной энер­гии чего го­во­рит­ся в за­да­че. По­тен­ци­аль­ная энер­гия ма­ят­ни­ка равна сумме по­тен­ци­аль­ной энер­гии груза в поле тя­же­сти и по­тен­ци­аль­ной энер­гии де­фор­ма­ции пру­жи­ны.

Пружинным маятником принято называть тело, которое может совершать колебания на гладкой горизонтальной поверхности под действием пружины, второй конец которой закреплен (левый рисунок)

И имен­но по­то­му, что ки­не­ти­че­ская энер­гия в этих точ­ках равна нулю, по по­тен­ци­аль­ной энер­гии можно су­дить о всей пол­ной ме­ха­ни­че­ской энер­гии. В этот закон вхо­дит уско­ре­ние, ко­то­рое яв­ля­ет­ся вто­рой про­из­вод­ной ко­ор­ди­на­ты тела по вре­ме­ни, и сила, ко­то­рая обыч­но за­ви­сит от самой ко­ор­ди­на­ты.

В программу единого государственного экзамена входит также знание формул для частоты колебаний пружинного и математического маятников. Частотой колебаний тела называется число колебаний, совершаемых в единицу времени. Так как малые колебания математического маятника являются гармоническими, то их период не зависят от амплитуды.