Что делать? Разложение в сумму элементарных дробей будет выглядеть наподобие с неизвестными коэффициентами вверху или как-то по-другому? С этим методом Вы можете ознакомиться в последнем параграфе урока Интегрирование некоторых дробей. Вообще отношение многочленов раскладывают на простейшие дроби, если степень многочлена числителя меньше степени многочлена в знаменателе. Вывод: Старшая степень числителя СТРОГО меньше старшей степени знаменателя, значит, дробь является правильной.

К примеру, требуетя взять интеграл от дробно рациональной функции. В противном случае сначала проводят деление многочлена числителя на многочлен знаменателя, а уже затем проводят разложение правильной дробно рациональной функции.

Об этом подробнее в разделе теории – разложение многочлена на множители. Переходим к разложению знаменателя на множители. Примеры решений. При этом дроби являются более навороченными, нежели те, о которых шла речь в статье Интегрирование некоторых дробей.

Сразу пример и типовой алгоритм решения интеграла от дробно-рациональной функции. Шаг 1. Первое, что мы ВСЕГДА делаем при решении интеграла от дробно-рациональной функции – это выясняем следующий вопрос: является ли дробь правильной?

Сейчас мы будем рассматривать только правильные дробно-рациональные функции. И, знаете, как-то проскакивает интуитивная мысль, что неплохо бы нашу большую дробь превратить в несколько маленьких. Найти неопределенный интеграл. Вернемся к дроби из первого примера: . Нетрудно заметить, что в знаменателе все множители РАЗНЫЕ.

В нашем примере два кратных множителя: и , еще раз взгляните на приведенное мной разложение и убедитесь, что они разложены именно по этому правилу. 1) Из первого уравнения выражаем и подставляем во второе уравнение системы (это наиболее рациональный способ). В третьем интеграле начинаем выделять полный квадрат (предпоследний параграф урока Интегрирование некоторых дробей).

Подробно остановимся на методе неопределенных коэффициентов и методе частных значений, а также на их комбинации. Но об интегралах в другом разделе. Во-первых, раскладываем знаменатель на множители. Здесь стоит рассмотреть виды выражений, которые могут быть у Вас в знаменателе.

Возникает вопрос, а что делать, если дана, например, такая дробь: ? Здесь в знаменателе у нас степени, или, по-математически кратные множители

ОБЫЧНО ВСТРЕЧАЕТСЯ КОМБИНАЦИЯ ЭТИХ ВАРИАНТОВ (как правило, довольно простая). А два многочлена являются равными тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях совпадают. Рассмотрим на примере, чтобы показать плюсы этого метода.

Как видите, различие метода неопределенных коэффициентов и метода частных значений лишь в способе нахождения неизвестных

Очевидно, что нулями знаменателя являются значения х=1, х=-1 и х=3. Используем метод частных значений. Если бы мы сразу решили применить метод неопределенных коэффициентов, то пришлось бы решать систему пяти линейных алгебраических уравнений с пятью неизвестными.

В этой связи настоятельно рекомендую посетить урок Как решить систему линейных уравнений? А именно – нужно хорошо ориентироваться в методах подстановки («школьном» методе и методе почленного сложения (вычитания) уравнений системы). Теперь смотрим на знаменатель и выясняем старшую степень знаменателя.

Если бы в данном примере в числителе находился многочлен 3, 4, 5 и т.д. Вздохнем с облегчением, соответствующая теорема математического анализа утверждает – МОЖНО. Такое разложение существует и единственно. Хорошо запомните следующий нюанс. Что было бы, если б в правой части вообще не было ? Скажем, красовалось бы просто без всякого квадрата? Как видите, основная трудность задания состояла в том, чтобы составить (правильно!) и решить (правильно!) систему линейных уравнений.

Шаг 3. Представим дробно-рациональную функцию в виде суммы элементарных дробей. Для начала разберем теорию, далее решим парочку примеров для закрепления материала по разложению дробно рациональной функции на сумму простейших дробей. Простыми словами, дробно-рациональная функция – это дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены либо произведения многочленов. Продолжаем заниматься интегрированием дробей.