Второй распространенный класс составляют такие напряженные состояния, в которых ни одно из главных напряжений не является растягивающим. Экстремальные значения напряжений и называются главными нормальными напряжениями. Определив из (57) находим по формулам (56) главные напряжения девиатора и тензора напряжений. Соединив найденные таким путем точки, получим так называемую траекторию главных напряжений.

Следовательно, обе главные площадки взаимно перпендикулярны. Величины напряжений определяются формулами (17.7) и (28.7). Здесь — нормальное и касательное напряжения в рассматриваемой точке, действующие по площадке, совпадающей с поперечным сечением балки, и определяемые по формулам (17.7) и (28.7). Из формулы (32.7) видно, что напряжение отах всегда положительно, a всегда отрицательно. Рассмотрим теперь более подробно напряженное состояние в точках прямоугольного поперечного сечения балки. Предположим, что, изгибающий момент М и поперечная сила Q в этом сечении положительны.

Аналогично можно вычислить значения экстремальных касательных напряжений и построить эпюры этих напряжений. Определим для какой-либо точки балки направление одного из главных напряжений, а затем возьмем на этом направлении вторую точку, достаточно близкую к первой.

Главные нормальные напряжения и направления в общем случае объёмного напряжённого состояния

Через каждую точку проходят две такие траектории, перпендикулярные друг к другу; одна из них представляет собой траекторию главных растягивающих напряжений, а другая — главных сжимающих. На рис. 47.7 показана часть фасада некоторой балки с нанесенными траекториями главных напряжений. Теория НДС ставит своей задачей определение внутренних напряжений, деформаций и перемещений в различных точках деформируемого твёрдого тела произвольной формы и размеров.

Как известно, через точку можно провести бесконечное количество плоскостей и в этой точке будут напряжения и , перпендикулярные и лежащие в этих плоскостях. У касательных напряжений первый индекс указывает на направление его действия, второй индекс – на нормаль к площадке, на которой оно действует.

Коши. Система напряжений, приложенных к частице тела, должна удовлетворять условиям равновесия. Первые три условия в проекциях на оси x, y, z дают тождества, т.к. на противоположных гранях мы считаем напряжения равными по величине. На основании этого закона тензор-матрица напряжений является симметричной относительно главной диагонали, состоящей из нормальных напряжений. Тензор напряжений, для которого , называется тензором–девиатором напряжений.

В последнем случае состояние называют плоским напряжённым состоянием. При двухосном растяжении деформации в направлениях x и y могут быть найдены на основании законов (11) для одноосного растяжения. На практике часто встречается напряжённое состояние, изображённое на рис. 3.7,б. Оно возникает в удлинённых телах со стеснённой в этих направлениях деформацией. Из (36) находим два значения угла и (рис. 3.13), определяющие два направления и две площадки, называемые главными.

Напряжение при чистом изгибе

Поэтому третья площадка, на которой действует нормальное напряжение , будет также главной. Рассмотрим частицу тела с напряжениями (рис. 3.16,а). Повернём её на угол относительно оси z. На гранях такой частицы действуют напряжения (рис. 3.16,б). Формулы (42) аналогичны (35). Найдём теперь экстремальные (главные) значения деформации. Это предположение было сделано Коши. Если 0(плоская деформация, ), то формулы для главных деформаций не изменяется.

Общее решение кубического уравнения для определения главных напряжений

Большинство материалов по-разному разрушается в зависимости от того, являются ли напряжения растягивающими или сжимающими. При решении вопросов прочности, однако, такая классификация не является достаточной и принято делить напряженные состояния на три класса в зависимости от знака главных напряжений.

Напряжения на октаэдрических площадках

В частном случае все три главных растягивающих напряжения могут быть равными; такое напряженное состояние называется чистым трехосным растяжением. Круговые диаграммы напряженных состояний этого класса располагаются в средней части плоскости (рис.3.17.4).

При плоском чистом сдвиге касательные напряжения параллельны одной плоскости xy (рис. 3.18,б). Эллипсоид Ламе (58) представляет собой геометрический образ напряжённого состояния частицы тела, т.е. тензора напряжений.

Можно показать, что напряжения на этих площадках задаются точками, расположенными между окружностями в заштрихованной области. Рассмотрим площадки, равнонаклонённые к главным осям (рис. 3.27,а). Они образуют геометрическую фигуру, называемую главным октаэдром (восьмигранником) (рис. 3.27,б).

На рис. 3.28 занумерованные направления со штрихами представляют собой проекции главных направлений на октаэдрическую плоскость. Формулы Коши (35) можно получить значительно проще. Рассмотрим одну из граней ОАСВ частицы тела в плоскости ху со сторонами dx и dy(рис. Система уравнений равновесия (100) Коши представляет собой дифференциальные уравнения равновесия в напряжениях. Они показывают с учётом (101), что задача определения напряжений трижды статически неопределима.

Сформулируйте первую и вторую теории прочности. Изгиб называетсяплоским или прямым, если плоскость действия нагрузки проходит через главную центральную ось инерции сечения (рис.6.1). Если изгибающий момент Mxявляется единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называется чистым (рис.6.2).

На главных площадках касательные напряжения отсутствуют. Примем в (49) , где — главные значения девиатора напряжений. Таким образом, задача о кручении в напряжениях сводится к нахождению функции напряженийFиз уравнения Пуассона при граничном условии F = 0 на контуре поперечного сечения.