Неопределённость не устранена, поэтому применяем правило Лопиталя ещё раз (вторая строчка). Одно из них содержит правило Лопиталя.

Способ раскрытия такого рода неопределённостей был опубликован в учебнике «Analyse des Infiniment Petits» 1696 года за авторством Гийома Лопиталя. Даже если задание сформулировано коротко – «вычислить пределы», то негласно подразумевается, что вы будете пользоваться всем, чем угодно, но только не правилами Лопиталя. Всего правил два, и они очень похожи друг на друга, как по сути, так и по способу применения.

Сразу оговорюсь, что правила будут приведены в лаконичном «практическом» виде, и если вам предстоит сдавать теорию, рекомендую обратиться к учебнику за более строгими выкладками. Примечание: предел тоже должен существовать, в противном случае правило не применимо. Новизна статьи состоит в самих правилах и некоторых технических приёмах решения. Как уже отмечалось, в большинстве случаев правила Лопиталя использовать не нужно, но их зачастую целесообразно применять для черновой проверки решения.

Если существует предел отношения бесконечно большихв точке функций: , то в целях устранения неопределённости можно взять две производные – ОТДЕЛЬНО от числителя и ОТДЕЛЬНО от знаменателя. При этом: , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется. Тут придётся использовать правило Лопиталя три раза подряд (экспериментаторы могут попробовать).

В другом источнике информации то же самое будет «следствием 2 и теоремой 3». Такие высказывания формальны и удобны разве что самим авторам. Продолжаем разрабатывать тему, которую нам подкинул член Парижской академии наук маркиз Гийом Франсуа де Лопиталь.

Алгоритм вычисления пределов по правилу Лопиталя

В предпоследней строчке синусы можно было и не убивать, но пример довольно тяжелый, простительно. Расправа с неопределённостью подробно разобрана в Примерах №№9-13 урока Методы решения пределов. Предел здесь односторонний, и о таких пределах уже шла речь в методичке Графики и свойства функций. В результате нарисовалась неопределённость . Повторяем трюк: снова делаем дробь трёхэтажной и к полученной неопределённости применяем правило Лопиталя ещё раз: Готово.

Вспоминаем обычное требование: «…не пользуясь правилом Лопиталя». Правило Лопиталя распространяется и на случай . Чтобы убедится в этом, достаточно сделать замену и воспользоваться результатом выше приведенной теоремы.

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных. Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Переходя в этом равенстве к пределу при Δx→0, получим , то есть f ‘(x)≥0. Это правило впервые упоминалось в книге по дифференциальному исчислению, опубликованной в \(1696\) (!) году французским математиком Гийомом Лопиталем (\(1661- 1704\)).

В ходе оживленной беседы Лопиталь удивился, как легко, “как бы играя”, юнец Бернулли решал трудные задачи по новому исчислению. Поэтому Лопиталь попросил прочитать ему несколько лекций.

Книга состоит из десяти разделов, и девятый, в частности, включает в себя результат, в настоящее время известный как правило Лопиталя. Лопиталь утверждает, что роль Лейбница в анализе близка к роли Ньютона, но он предпочитает первого, “поскольку его изложение более простое и прямое”.

В одной из своих поездок в Париж Иоганн Бернулли познакомился с маркизом де Лопиталем, который был в то время одним из наиболее выдающихся французских математиков. Лопиталь был поражен талантом молодого Бернулли и его мастерством владения дифференциальным и интегральным исчислением, созданным Лейбницем.

Но в частном порядке он посетовал, что открытия Лопиталя являются наглым плагиатом. Только после смерти маркиза в 1704 году Бернулли несколько возместил утраченное, опубликовав многие свои результаты, в частности, и правило Лопиталя. Но определенность появилась в 1955 году, когда обнаружилась первая переписка между Иоганном и Лопиталем.

Выделенное жирным шрифтом требование можно с чистой совестью приписать и к любому пределу уроков Пределы. Методы решения пределов, Замечательные эквивалентности, где встречается неопределённость «ноль на ноль» либо «бесконечность на бесконечность». Кроме непосредственных примеров по теме, мы изучим и дополнительный материал, который будет полезен в ходе дальнейшего изучения математического анализа.

Во-вторых, производные берутся ОТДЕЛЬНО от числителя и ОТДЕЛЬНО от знаменателя. Обратите внимание, что на первом шаге в знаменателе берётся производная сложной функции. После этого проводим ряд промежуточных упрощений, в частности, избавляемся от косинуса, указывая, что он стремится к единице.

Не вижу особого смысла в пошаговых комментариях, так как о производных и пределах я уже рассказал достаточно подробно. Опять же, в различных практических примерах значение может быть разным, в том числе, бесконечным. Однако для Примера №2 той же статьи проверка данным способом будет весьма муторна. На самом деле ответ лежит на поверхности и почти мгновенно определяется устно (см. статью Методы решения пределов).

Далее по тексту я не буду разграничивать первое и второе правило Лопиталя, это было сделано только в целях структурирования статьи. Интересно, что первоначальная неопределённость после первого дифференцирования превратилась в неопределённость , и правило Лопиталя невозмутимо применяется дальше.