В одном из противоречащих высказываний что-то утверждается, в другом — это же самое отрицается. Логическое сказуемое — содержащаяся в предложении (высказывании) информация о логическом подлежащем. Например, в формулу «А или не-А», представляющую логический закон, вместо переменной А должны подставляться высказывания. Логические высказывания принято подразделять на составные (или сложные) и элементарные.

Если суждение, составляющее содержание (смысл) некоторого высказывания, истинно, то и о данном высказывании говорят, что оно истинно. Истинность и ложность называются логическими, или истинностными, значениями высказываний. Высказывание должно быть повествовательным предложением. Логическое значение сложного высказывания определяется логическим значением входящих в его состав высказываний и теми логическими постоянными, с помощью которых оно построено.

11]. Само высказывание в случае с многоместным предикатором содержит несколько логических подлежащих. Высказывательной формой (формой высказывания, предикатом) называется неполное логическое высказывание, в котором один из объектов заменён предметной переменной.

Форма сходна с высказыванием, однако она не истинна и не ложна (неопределенно-истинна), поскольку неизвестно, к чему относится утверждение или отрицание. Высказывания, использующие кванторы, выражают множественные — общие и частные — суждения.

Логика высказываний является теорией тех логических связей высказываний, которые не зависят от внутреннего строения (структуры) простых высказываний. Всегда истинная формула логики высказываний, или тавтология, — это формула, дающая истинное высказывание при любых подстановках, в нее конкретных (т.е. истинных или ложных) высказываний.

Всегда ложная формула, или логическое противоречие, всегда превращается влажное высказывание при подстановке конкретных высказываний вместо ее переменных. Для этого переберем варианты подстановок вместо переменных А и В конкретных высказываний.

Каждое из этих сложных высказываний является истинным. И какие бы дальнейшие высказывания ни подставлялись, результат будет тем же — полученное высказывание будет истинным. Тем более это невозможно сделать в случае самых абстрактных из всех законов — законов логики.

ЗАКОНЫ АССОЦИАТИВНОСТИ И КОММУТАТИВНОСТИ

За законами логики стоит, конечно, опыт, и в этом они сходны со всеми иными научными законами. И вместе с тем в истории логики не было периода, когда бы этот закон не оспаривался и когда бы дискуссии вокруг него совершенно затихали.

1. ЛОГИЧЕСКИЙ ЗАКОН

Закон противоречия говорит о противоречивых высказываниях — отсюда его название. Если применить понятия истины и лжи, закон противоречия можно сформулировать так: никакое высказывание не является вместе истинным и ложным.

6. ЯЗЫК ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ

Истина и ложь — это две несовместимые характеристики высказывания. Иногда закон противоречия формулируют следующим образом: из двух противоречащих друг другу высказываний одно является ложным. Тот, кто допускает противоречие, вводит в свой рассуждения или в свою теорию ложное высказывание.

Поскольку из противоречивого высказывания логически следует любое высказывание, появление в какой-то теории противоречия ведет к ее разрушению. В одном случае он истолковывается как принцип логики, говорящий о высказываниях и их истинности: из двух противоречащих высказываний одно должно быть ложным. Высказывание и его отрицание должны говорить об одном и том же предмете, рассматриваемом в одном и том же отношении.

Сходным образом ложным называют такое высказывание, которое является выражением ложного суждения. Высказывания обычно противопоставляются повелительным, вопросительным и любым другим предложениям, оценка истинности или ложности которых невозможна. Составные высказывания строятся на основе других высказываний.

Логические постоянные используются для соединения простых высказываний в сложные. Логические постоянные делятся на кванторы и логические союзы (связки).

Роль логических подлежащих играют простные и сложные имена, роль логических сказуемых — предикаторы (или предикаты). При этом свойства являются одноместными предикаторами, характеризуя один отдельный предмет, а отношения — многоместными, характеризуя пару, тройку и т.д. При подстановке вместо такой переменной какого-либо значения высказывательная форма превращается в высказывание.

2. ЗАКОН ПРОТИВОРЕЧИЯ

Из указанной формы можно получить высказывание, заменив общее имя единичным: Иванов — справедлив, или введя кванторы: Некоторые люди справедливы. Соответственно, само построение логики высказываний, опирающееся на данные определения, называется табличным ее построением. Если неверно, что сейчас светло, то неверно, что сейчас день» и т.п. Иными словами, внутренняя структура тавтологии гарантирует, что она всегда превратится в истинное высказывание, какими бы конкретными высказываниями мы ни заменяли входящие в нее переменные.

Таких вариантов, очевидно, четыре: оба подставляемых высказывания истинны, оба они ложны, первое из них истинно, а второе ложно, и первое ложно, а второе истинно. В результирующей колонке таблицы встречается только значение «истинно», т.е. формула является всегда истинной.

Таким образом, логический закон можно определить как выражение, содержащее только логические константы и переменные и являющееся истинным в любой (непустой) области объектов. В обычном языке слово «тавтология» означает повторение того, что уже было сказано: «Жизнь есть жизнь», «Театр — это театр» и т.п. Буквально говоря, это тавтология и пустота. Слово «тавтология» широко используется для характеристики законов логики.

В общем случае, логическая тавтология — это выражение, остающееся истинным независимо от того, о какой области объектов идет речь, или «всегда истинное выражение». Результаты таких подстановок: «Дождь идет или не идет», «Два плюс два равно нулю или не равно нулю», «Пегас существует или его нет» и тому подобное. Тавтология «Неверно, что Пегас есть и его нет» ровным счетом ничего не говорит о существовании Пегаса.

Логический закон логики высказываний — это тавтология данной логики. Формулам логики высказываний, образованным из переменных и связок, в естественном языке соответствуют предложения. Идея, выражаемая законом противоречия, проста: высказывание и его отрицание не могут быть вместе истинными. Центральным понятием логики в целом и логики высказываний как ее части являются понятия логического закона и логического следования.