Из ра­вен­ства по­лу­ча­ем пред­став­ле­ния числа в виде суммы 9, 12, 15, … 153 квад­ра­тов. По­сколь­ку каж­дый уче­ник был хотя бы в одном по­хо­де, всего маль­чи­ков в клас­се мень­ше чем от ко­ли­че­ства де­во­чек.

Решение: На первом месте стоит число 8. Пусть на втором месте стоит х, на третьем — у. Тогда на четвертом месте находится 8, на пятом — х и т.д. Разрешается вынуть шар из любой урны, не заглядывая в нее. Какое наименьшее число извлечений потребуется, чтобы определить состав всех урн? (Вы осведомлены о проделке шутника.

Если каж­дый иг­ра­ет с каж­дым по два раза, то со­сто­ит­ся 18 туров, в каж­дом из ко­то­рых иг­ра­ет­ся по 5 пар­тий

Решение: Достаточно вытащить один шар из третьей урны. Если этот шар — белый, то в третьей урне два белых шара, во второй — белый и черный, в первой — два черных. Решение: Положение Славы в гонке менялось 8 раз, положение Пети — 3 раза. Пусть положение Вити менялось х раз. Тогда 8 + 3 + х равно удвоенному числу обгонов, и, значит, оно четное. Катя подсчитала, что колес 18, а рулей всего 7. Сколько было двухколесных велосипедов?

Только один из этих будильников показывает верное время. Из оставшихся один спешит на 20 минут, другой отстает на 20 минут, а третий вовсе стоит. Часовщик смотрит на 4 будильника. Чему равна сумма цифр этого числа? Из чисел, квадраты которых делятся на 24, выбрали самое маленькое. 12 Задача 11 Крыша покрыта одинаковыми прямоугольными листами кровли, которые уложены в 8 рядов (снизу вверх). Каждый следующий ряд перекрывает предыдущий на 0,1 своей ширины.

19 Задача 18 Диагональ делит четырехугольник с периметром 31 см на два треугольника с периметрами 21 см и 30 см. Чему равна длина этой диагонали? 22 Задача 21 Найти решение уравнения Найти решение уравнения 28x+30y+31z=365 28x+30y+31z=365 в целых числах. Если то Если то каж­дый шаг удва­и­ва­ет от­кло­не­ние от (где ), Если это число всё ещё боль­ше 1/4, по­вто­рим про­це­ду­ру, что воз­мож­но, так как нуж­ное усло­вие опять вы­пол­ня­ет­ся.

Хо­ро­шо, из­вест­но, что в этом слу­чае само долж­но быть равно сумме двух не­рав­ных квад­ра­тов. Пред­ста­вим, что мы скла­ды­ва­ем число само с собой стол­би­ком. Дей­стви­тель­но, если какое-то число боль­ше сво­е­го но­ме­ра, то все по­сле­ду­ю­щие числа тоже боль­ше сво­е­го но­ме­ра. Число A = M − N = 2N чётно. Но, по усло­вию, число A со­став­ле­но из нечётных цифр и двой­ки.

Зна­чит, пред­по­след­няя цифра числа A = 2N будет чётной, а она долж­на быть нечётной. За­ме­тим, что нечётное число не де­лит­ся на чётное, а зна­чит, не может сто­ять в окру­же­нии чисел оди­на­ко­вой чётно­сти.

До­ка­жем, что для лю­бо­го на­ту­раль­но­го су­ще­ству­ют на­ту­раль­ных чисел, сумма любых двух из ко­то­рых де­лит­ся на их раз­ность. Для можно взять числа 1 и 2. Пусть числа удо­вле­тво­ря­ют тре­бу­е­мо­му усло­вию. Най­и­те наи­боль­шее зна­че­ние числа если и сумма имеет наи­мень­шее зна­че­ние.

В спец. клас­се лицея n пред­ме­тов. Если бы Лена там обу­ча­лась, и сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех оце­нок за 9 класс ока­за­лось равно 4,1, а за 11 класс — 4,9, то она стала бы от­лич­ни­цей. Но если в 11-ом клас­се есть трой­ка, то сред­ний балл будет не боль­ше, чем Про­ти­во­ре­чие.

По ана­ло­гич­ным со­об­ра­же­ни­ям, сразу не под­хо­дят числа 13,17,19, кроме того, в раз­ло­же­нии есть «лиш­ние» двой­ка, трой­ка и се­мер­ка

Из про­ме­жут­ка на 11 де­лят­ся толь­ко числа 891880 и 891891. Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем урав­не­ние Пусть тогда Зна­чит, число 891891 могло по­лу­чить­ся. Не­по­сред­ствен­ной про­вер­кой убеж­да­ем­ся, что под­хо­дит толь­ко число 0,05775. Рас­смот­рим те­перь набор чисел таких, что (то есть, уве­ли­чим все дан­ные числа на еди­ни­цу). Если у этих двух на­бо­ров есть хотя бы 4 общих числа, то за­да­ча ре­ше­на, по­сколь­ку най­дут­ся 4 раз­но­сти, рав­ные еди­ни­це.

Кроме того, не может вхо­дить в про­из­ве­де­ние хотя бы одно число, крат­ное 5 (иначе мно­жи­тель 5 будет вхо­дить в чет­вер­той сте­пе­ни и куб не по­лу­чит­ся)

Тогда про­из­ве­де­ние чисел с 999-го по 9-ое по­ло­жи­тель­но, а осталь­ные от­ри­ца­тель­ны. Пусть две минус еди­ни­цы стоят рядом, а все осталь­ные числа — еди­ни­цы. Тогда от­ри­ца­тель­ны­ми будут ровно два про­из­ве­де­ния (те, ко­то­рые за­хва­ты­ва­ют ровно одну из этих минус еди­ниц), а осталь­ные – по­ло­жи­тель­ны­ми.

Длина каж­до­го от­рез­ка яв­ля­ет­ся на­ту­раль­ным чис­лом, не пре­вос­хо­дя­щим 20. Пусть n – число раз­лич­ных тре­уголь­ни­ков, ко­то­рые можно со­ста­вить из этих от­рез­ков. Сколь­ко де­во­чек могло при­ни­мать уча­стие в тур­ни­ре, если из­вест­но, что их в 7 раз мень­ше, чем маль­чи­ков, и что маль­чи­ки на­бра­ли в сумме ровно в три раза боль­ше очков, чем де­воч­ки?

Чтобы из­ба­вить­ся от них не­об­хо­ди­мо вы­черк­нуть из на­бо­ра хотя бы два числа, на­при­мер 6 и 7 (одним не обой­тись, по­то­му что — не вхо­дит в набор)

По­это­му мак­си­маль­ное сум­мар­ное число очков, ко­то­рые они могут на­брать равно 2+12=14. Школь­ни­ки од­но­го клас­са в сен­тяб­ре хо­ди­ли в два ту­ри­сти­че­ских по­хо­да. Пусть в k-м по­хо­де, где 1 ≤ k ≤ n, маль­чи­ки со­став­ля­ли ak-ю часть об­ще­го ко­ли­че­ства участ­ни­ков этого по­хо­да. Какую наи­боль­шую долю могут со­став­лять маль­чи­ки на общей встре­че всех ту­ри­стов (всех, кто участ­во­вал хотя бы в одном из n по­хо­дов)?

Сле­до­ва­тель­но, маль­чи­ков в этом клас­се мень­ше чем от об­ще­го числа уче­ни­ков. Для этого тре­бу­ет­ся, чтобы все на­пи­сан­ные не­ра­вен­ства пре­вра­ти­лись в ра­вен­ства. Тогда в двух­кру­го­вом тур­ни­ре со­сто­ит­ся пар­тий между маль­чи­ка­ми и ) пар­тий между де­воч­ка­ми. Возь­мем пер­вые 2015 про­стых чисел. Это будут зна­ме­на­те­ли 2015 дро­бей.

До­ка­жем те­перь, что если и то можно пред­ста­вить в виде суммы квад­ра­тов. Так как то то есть не­об­хо­ди­мо, чтобы было пред­ста­ви­мо в виде суммы двух квад­ра­тов. 3 Задача 2 Весь класс, в котором учатся Маша и Даша, выстроился в колонну по одному. Эту цифру переставили в конец числа. Полученное число оказалось на 747 меньше исходного. Пусть и – число маль­чи­ков и де­во­чек в -м по­хо­де, и – число маль­чи­ков и де­во­чек на общей встре­че.