Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Wolfram Alpha автоматически выбирает наиболее простой вид разложения функции в степенной ряд, если иное не задано. К примеру, найдем таким образом первые шесть коэффициентов разложения функции cos(x) в ряд Тейлора. Тут, имхо, сильно помогает, что наш ряд знакопеременный, и в данном случае может это и будет справедливо.

Но в некоторых случаях интеграл является очень трудным или неберущимся, поэтому соответствующую площадь в большинстве случаев можно вычислить только приближенно. Мы видим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке , а значит, площадь существует, и определенный интеграл численно равен заштрихованной площади. Беда только в том, что данную площадь можно вычислить лишь приближенно с определенной точностью.

Решение: Идея метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию соответствующим степенным рядом(если он, конечно,сходится к ней на промежутке интегрирования).

Чем больше членов ряда мы рассматриваем – тем лучше будет точность. Из практики могу сказать, что в большинстве случаев для достижения точности 0,001 достаточно записать первые 4 члена ряда. Иногда требуется меньше. Также в ходу и другая точность вычислений, обычно 0,01 или 0,0001. Сколько членов ряда нужно взять для окончательных вычислений? Как-то незаслуженно я обошел стороной арктангенс, ни разу не разложив его в ряд. Исправим оплошность.

10.2. Ряды Тейлора и Маклорена

Используем разложение: В данном случае Здесь повезло, что в итоге степени таки остались целыми, дробные степени было бы труднее интегрировать. И снова обратите внимание, что точность 0,01 здесь гарантирована лишь потому, что сходящийся ряд знакочередуется. Для ряда с положительными членами, например, ряда такую оценку проводить нельзя, поскольку сумма отброшенного «хвоста» может запросто превысить 0,00089.

Расскажу в конце урока. А пока открою секрет, что во всех сегодняшних примерах ряды знакочередуются. Что будет, если попытаться решить какой-нибудь нелегальный случай вроде ? Функция так же прекрасно разложится в ряд, члены ряда так же замечательно проинтегрируются. Ряд-то сходится лишь на отрезке . Это не паранойя, на практике так время от времени бывает.

Математический анализ. Часть 2

В заключение рассмотрим еще пару примеров, которые несколько сложнее. Решение: Анализирую подынтегральную функцию, приходим к выводу, что нужно использовать биномиальное разложение. И напоследок обещанный секрет – что делать, если все члены ряда положительны? Но это будет вовсе не «с точностью до», т.к. для положительных рядов довольно трудно оценить сумму остатка. По невнимательности легко пропустить какое-нибудь число, степень, неточно разложить функцию в ряд, неверно проинтегрировать, допустить банальную ошибку в вычислениях.

Находим производные данной функции. Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора: С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при ½х-1½<1. Действительно, Ряд сходится, если ½х-1½<1, т.е. при 0Статьи на какую тему наиболее интересны для Вас?

Пример №7. Написать ряд Тейлора по степеням (х-1) функции . Решение. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.

Нужно задать точку, в которой будет найдено точное значение функции, значение, полученное вычислением в этой точке рядов Тейлора и Маклорена и ошибка разложения

Решение. Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 53 является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=53+5. В главах X и XI (т. 1) было указано, что существуют определенные интегралы, которые как функции верхнего предела не выражаются в конечном виде через элементарные функции.

С помощью этого равенства мы можем при любом а вычислить данный интеграл с любой степенью точности. Разложение функций в степенные ряды чаще всего является не удовольствием, как многие другие математические преобразования, а необходимостью. К этой процедуре чаще всего прибегают при выполнении приближенных вычислений.

Ещё раз.Разлагаем подынтегральную функцию в степенной ряд, который, как оказывается, на всём промежутке интегрирования сходится

Конечно, для этого можно использовать справочники рядов. Однако, такие справочники у нас не всегда под рукой. Да и издавались они достаточно давно. А вот Интернет… Проголосуйте за ту тему, которая по Вашему мнению недостаточно освещена в этом блоге. Мнение большинства будет учтено при подготовке последующих публикаций. Функцию f(x) = ln(5x+3) разложили в ряд Тейлора в окрестности точки xo = – 0,4. Найти количество целых чисел, принадлежащих промежутку сходимости полученного ряда к этой функции.

Для определения характера сходимости в граничных точках интервала можно воспользоваться программами Converg 1,2.mws. Functions.mws — программа, в которой реализована распространенная задача математического анализа — исследование функции с помощью производной.

Например, для знакопостоянной бесконечно убывающей геометрической прогрессии это навскидку неверно (если я не ошибся в прикидках)

Пользоваться программой очень просто — следует только ввести функцию и нажать Enter. Программа состоит из отдельных блоков, что облегчает ее использование. В тексте приведены комментарии о назначении каждого блока. В программе определяется: 1. Четность/ нечетность функции. 2. Первая производная функции, координаты точек экстремума. 3. Вторая производная функции. 8. Нули функции, промежутки знакопостоянства.

Пример 3: Вычислить интеграл с точностью до 10-5. Решение. Однако, в общем случае, меня одолевают сомнения. Ряд здесь лейбницевского типа, поэтому оценка остатка тривиальна. Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях.